二叉树

2024-01-12 15:06:34

二叉树

每个结点最多有两个孩子，其余结构和树的结构一样。

1. 二叉树特点

二叉树的特点有：

  • 每个结点最多有两棵子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。
  • 左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。
  • 即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。

二叉树有五种基本形态：

  • 空二叉树；
  • 只有一个根节点；
  • 根节点只有左子树；
  • 根节点只有右子树；
  • 根节点既有左子树又有右子树。

2. 特殊二叉树

  1. 斜树。所有结点只有左子树（或右子树）的二叉树称为左斜树（右斜树）。

  2. 满二叉树。所有结点（除了叶子结点）都存在左子树和右子树，且所有叶子结点均在同一层上。

    二叉树

    满二叉树的特点有：

    • 叶子只能出现在最下一层；
    • 非叶子结点的度一定为2；
    • 在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。

  3. 完全二叉树。对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i(1≤i≤n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，这个二叉树为完全二叉树。

    图

    完全二叉树的特点：

    • 叶子结点只能出现最下两层；
    • 最下层的叶子一定集中在左部连续位置；
    • 倒数二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置；
    • 如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即不存在只有右子树的情况；
    • 同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小。

2. 二叉树的性质

  1. 在二叉树的第i层上至多有\(2^{i-1} (i≥1)\)​个结点。
  2. 深度为k的二叉树至多有\(2^k-1 (k≥1)\)个结点。
  3. 对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为\(n_0\)，度为2的结点数为\(n_2\)，则\(n_0=n_2+1\)。
  4. 具有n个结点的完全二叉树的深度为\([log_2n]+1\)([x]表示不大于x的最大整数)。
  5. 对于具有n个结点的完全二叉树，其结点按照层序编号，对任意结点\(i (1≤i≤n)\)有：
    • 如果\(i=1\)，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果\(i≥1\)，则其双亲结点为\([i/2]\)。
    • 如果\(2i>n\)，则结点i无左孩子（结点i为叶子结点）；否则其左孩子是结点2i。
    • 如果\(2i+1>n\)，则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点\(2i+1\)。

3.二叉树遍历

遍历二叉树的方法：

  1. 先序遍历

    • 首先对根节点进行访问
    • 然后访问左子树
    • 最后访问右子树 DLR模式

    2.中序遍历

    • 首先访问左子树
    • 后访问根节点
    • 最后访问右子树 LDR模式

  2. 后序遍历

    • 首先访问左子树
    • 然后访问右子树
    • 最后访问根节点 LRD模式
    //先序遍历DLR
    void PreorderTraverse(BTNode<T> *p) //p为二叉树的根节点,以下同是
    {
        if (p != NULL)
        {
            this->Visit(p);
            this->PreorderTraverse(p->lchild);
            this->PreorderTraverse(p->rchild);
        }
    }
    //中序遍历LDR
    void InorderTraverse(BTNode<T> *p)
    {
        if (p != NULL)
        {
            this->InorderTraverse(p->lchild);
            this->Visit(p);
            this->InorderTraverse(p->rchild);
        }
    }
    //后序遍历LRD
    void Postordertraverse(BTNode<T> *p)
    {
        if (p != NULL)
        {
            this->Postordertraverse(p->lchild);
            this->Postordertraverse(p->rchild);
            this->Visit();
        }
    }

4. 二叉树遍历的应用

    //统计叶子结点的数目
    int GetNumOfLeaf(BTNode<T> *p)
    {
        int number = 0;
        if (p == NULL)
            number = 0;
        else if (p->lchild == NULL && p->rchild == NULL)
            number = 1;
        else
            number = this->GetNumOfLeaf(p->lchild) + this->GetNumOfLeaf(p->rchild);
        return number;
    }
    //计算二叉树的高度
    int GetHeight(BTNode<T> *p)
    {
        int height = 0;
        if (p == NULL)
            height = 0;
        else if (p->lchild == NULL && p->rchild == NULL)
            height = 1;
        else
        {
            int lheight = this->GetHeight(p->lchild) + 1;
            int rheight = this->GetHeight(p->rchild) + 1;
            height = lheight > rheight ? lheight : rheight;
        }
        return height;
    }

5. 中序线索化二叉树

​ 原理：

​ 为了节省资源空间，将空闲的指针域给利用起来，将此指针域设为该结点的前驱或后继指针

  1. 如果该结点的左指针域为空，则将此指针域指向该结点的前驱；
  2. 如果该结点的右指针域为空，则将此指针域指向该结点的后继；
  3. 为了辨别该结点的左右指针域的指向，需要在结点中加入两个布尔变量Ltag和Rtag。如果Ltag=0或Rtag=0则表明该结点的左或右孩子存在；否则，指向前驱或后继指针。

​ 实现：

  1. 首先遍历整个二叉树BinTree，先序，中序，后序都可
if(BinTree!=NULL)
{
    Inordertraverse(BinTree->lchild);
    dosomething;
    Inordertraverse(BinTree->rchild);
}
  1. 判断当前结点的左孩子是否存在，若存在则让BinTree->Ltag=0；

​ 否则BinTree->Ltag=1;BinTree->lchild=pre;(pre为当前结点的前驱结点，就是遍历的上一个结点)

​ 3. 判断前驱结点pre的右孩子是否存在，若存在则让BinTree->Rtag=0;

​ 否则pre->Rtag=1;pre->rchild=BinTree;

​ 4. 令前驱结点pre始终保持在当前结点的上一个结点，即:pre=BinTree;

​ 代码实现：

if(BinTree->lchild==NULL)
{
    BinTree->Ltag=1;
    BinTree->lchild=pre;
}
if(pre!=NULL&&pre->rchild==NULL)
{
    pre->Rtag=1;
    pre->rchild=BinTree;
}
pre=BinTree;

中序线索二叉树查找某个结点p的前驱结点pre

  1. 根据中序遍历方法LDR可知，结点p的前驱结点应是p的左子树；
  2. 如果该结点的左孩子标志点p->Ltag=1;则该结点的前驱为pre=p->lchild;
  3. 如果该结点的左孩子存在即p->Ltag=0;

​ 根据中序遍历的定义可知，结点p的前驱结点应是p的左子树的“最下右孩子”;

​ 用代码可表示为：

q=p->lchild;
while(q->Rtag==0)
{
    q=q->rchild;
}
pre=q;

​ 中序线索二叉树查找某个结点p的后继结点next，方法原理同上。

中序线索二叉树的插入和删除操作

​ 插入操作：

​ 向二叉树中结点p的右孩子插入结点r，即p->rchild=r;

​ 1. 首先遍历二叉树，找到结点p

    • 如果结点p的右孩子不存在，即p->Rtag=1;
    • 则p的后继变为r，r的后继变为p原来的后继p->rchild，r的前驱为p
    • 即：r->Ltag=1;r->lchild=p;r->Rtag=1;r->rchild=p->rchild;p->rchild=r;注意顺序不能变
    • 如果结点p的右孩子存在，即p->Rtag=0;
    • 则将结点r变为p结点的右孩子，原来p的右孩子变为r的右孩子
    • 则p的后继将变为r，p为r的前驱
    • r的后继变为右子树“最下端左孩子”

​ 代码实现：

if(p->Rtag==1)
{
    BTNode<T> *r=new BTNode<T>(Data:data,Ltag:1,Rtag:1,lchild:p,rchild:p->rchild);
    p->rchild=r;
    p->Rtag=0;
}
else
{
    BTNode<T> *r=new BTNode<T>(Data:data,Ltag:1,Rtag:0,lchild:p,rchild:p->rchild);
    p->rchild=r;
    BTNode<T> *q=r->rchild;
    while(q->Ltag==0)
    {
        q=q->lchild;
    }
    q->lchild=r;
}

​ 删除操作和插入操作类似相同，方法和原理同上。

6. 哈夫曼树

​ 哈夫曼树是指带权路径最小的二叉树。

​ 给定一定的带权叶子结点，构造哈夫曼树：

​ 1. 在这些结点中寻找两个权最小的叶子结点，这两个结点与\(N_1\)结点组成一棵树，\(N_1\)结点的权变为两个结点的和；

​ 2. 将\(N_1\)结点和其它叶子结点放在一起，在其中找到两个权最小的树，组成一棵新树；

​ 3. 注意在组成新树时，将权相对较小的值作为左孩子；

​ 4. 以此类推，重复上述的步骤，最终将得到哈夫曼树。

​ 根据以上的构造可以得到，哈夫曼树只有度为2的结点和叶子结点，故当哈夫曼树有n个叶子结点时，其总结点数为2n-1。

​ 哈夫曼树存储结构：

​ | weight | parent | lchild | rchild |

​ 权重 双亲 左孩子 右孩子

​ 叶子结点的左孩子和右孩子均为空。

​ 哈夫曼树的应用：

​ 哈夫曼编码：前缀编码，前缀编码容易区分，不易相重；缩短编码长度，便于传输 常用于压缩文件编码

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