1.题目描述

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

2.解题方法：动态规划 

3.解题思路

因为每次只能向下或右移动1步，那么在第一行的元素只能由前一元素向右移动得到。第一列的元素只能由上一元素向下移动得到。然后他们的路径和都是唯一的，由前一元素值相加。

还有就是不在第一行，第一列的。这些元素可以由上一元素向下，或者向右移动得到，那么此时就应选路径和最小的那个。由于每个元素对应的最小路径和与其相邻元素对应的最小路径和有关，因此可以使用动态规划求解。

什么时候用动态规划呢？状态转移树中，若后一状态仅仅取决于上一个状态，就用贪婪算法；若后一状态取决于之前的多个状态，就用动态规划。

创建二维数组 dp，与原始网格的大小相同，dp[i][j] 表示从左上角出发到 (i,j)(i,j) 位置的最小路径和。显然，dp[0][0]=grid[0][0]。对于 dp 中的其余元素，通过以下状态转移方程计算元素值。

· 当 i>0i>0 且 j=0j=0 时，dp[i][0]=dp[i−1][0]+grid[i][0]。

· 当 i=0i=0 且 j>0j>0 时，dp[0][j]=dp[0][j−1]+grid[0][j]。

· 当 i>0i>0 且 j>0j>0 时，dp[i][j]=fmin(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i][j]。

最后得到dp[m-1][n-1] 的值即为从网格左上角到网格右下角的最小路径和。

4.程序代码

int minPathSum(int** grid, int gridSize, int* gridColSize){
    int rows = gridSize, columns = gridColSize[0];
    if (rows == 0 || columns == 0) {
        return 0; //空的话返回0
    }
    int dp[rows][columns];
    dp[0][0] = grid[0][0];
    for (int i = 1; i < rows; i++) {
        dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
    } // 到第一行的元素只能由上一元素向右移动得到
    for (int j = 1; j < columns; j++) {
        dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
    } // 到第一列的元素只能由上一元素向下移动得到
    for (int i = 1; i < rows; i++) {
        for (int j = 1; j < columns; j++) {
            dp[i][j] = fmin(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j];
        } //选上一步中路径和小的接续来相加，fmin()为内置函数
    } //其他位置的元素可由上一元素下移或右移得到，此时需要两者中小的值
    return dp[rows - 1][columns - 1];
}