二叉搜索树2

2024-01-12 12:26:52

二叉搜索树2

BST基础操作：

1.判断BST的合法性

这里是有坑的，如果很简单的认为只需要节点与左子树和右子树进行比较的话，那么代码就是

boolean isValidBST(TreeNode root) {
    if (root == null) return true;
    if (root.left != null && root.val <= root.left.val)
        return false;
    if (root.right != null && root.val >= root.right.val)
        return false;

    return isValidBST(root.left)
        && isValidBST(root.right);
}

但是这个算法出现了错误，BST 的每个节点应该要小于右边子树的所有节点，下面这个二叉树显然不是 BST，因为节点 10 的右子树中有一个节点 6，但是我们的算法会把它判定为合法 BST：

出现问题的原因在于，对于每一个节点root，代码值检查了它的左右孩子节点是否符合左小右大的原则；但是根据 BST 的定义，root的整个左子树都要小于root.val，整个右子树都要大于root.val。

问题是，对于某一个节点root，他只能管得了自己的左右子节点，怎么把root的约束传递给左右子树呢？

请看正确的代码：

boolean isValidBST(TreeNode root) {
    return isValidBST(root, null, null);
}

/* 限定以 root 为根的子树节点必须满足 max.val > root.val > min.val */
boolean isValidBST(TreeNode root, TreeNode min, TreeNode max) {
    // base case
    if (root == null) return true;
    // 若 root.val 不符合 max 和 min 的限制，说明不是合法 BST
    if (min != null && root.val <= min.val) return false;
    if (max != null && root.val >= max.val) return false;
    // 限定左子树的最大值是 root.val，右子树的最小值是 root.val
    return isValidBST(root.left, min, root) 
        && isValidBST(root.right, root, max);
}

我们通过使用辅助函数，增加函数参数列表，在参数中携带额外信息，将这种约束传递给子树的所有节点，这也是二叉树算法的一个小技巧吧。
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!在递归的题目中，通过额外的参数来加以限制的技巧用的很多。

2.在 BST 中搜索一个数

如果是在二叉树中寻找元素，可以这样写代码：

boolean isInBST(TreeNode root, int target) {
    if (root == null) return false;
    if (root.val == target) return true;
    // 当前节点没找到就递归地去左右子树寻找
    return isInBST(root.left, target)
        || isInBST(root.right, target);
}

首先这种写法中的（）|| （）就很有技巧，表示两种之中只要有一个符合就行，很常用

但是这种写法针对的是普通二叉树，完全没有利用二叉搜索树的特性那么应该如何充分利用信息，把 BST 这个「左小右大」的特性用上？

很简单，其实不需要递归地搜索两边，类似二分查找思想，根据target和root.val的大小比较，就能排除一边。我们把上面的思路稍稍改动：

boolean isInBST(TreeNode root, int target) {
    if (root == null) return false;
    if (root.val == target)
        return true;
    if (root.val < target) 
        return isInBST(root.right, target);
    if (root.val > target)
        return isInBST(root.left, target);
    // root 该做的事做完了，顺带把框架也完成了，妙
}

这里可以抽象出一套针对 BST 的遍历框架：!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

void BST(TreeNode root, int target) {
    if (root.val == target)
        // 找到目标，做点什么
    if (root.val < target) 
        BST(root.right, target);
    if (root.val > target)
        BST(root.left, target);
}

这个代码框架其实和二叉树的遍历框架差不多，无非就是利用了 BST 左小右大的特性而已。

3.在 BST 中插入一个数

对数据结构的操作无非遍历 + 访问，遍历就是「找」，访问就是「改」。具体到这个问题，插入一个数，就是先找到插入位置，然后进行插入操作。

上一个问题，我们总结了 BST 中的遍历框架，就是「找」的问题。直接套框架，加上「改」的操作即可。一旦涉及「改」，函数就要返回TreeNode类型，并且对递归调用的返回值进行接收。

框架与上图一样：

TreeNode deleteNode(TreeNode root, int key) {
    if (root.val == key) {
        // 找到啦，进行删除
    } else if (root.val > key) {
        // 去左子树找
        root.left = deleteNode(root.left, key);
    } else if (root.val < key) {
        // 去右子树找
        root.right = deleteNode(root.right, key);
    }
    return root;
}

至于这里删除的情况，可以做一下分类讨论的：
如果删除的是叶子节点，即BTS的末尾，那么直接删除

if (root.left == null && root.right == null)
    return null;

如果只有一个非空子节点，那么它要让这个孩子接替自己的位置。

// 排除了情况 1 之后
if (root.left == null) return root.right;
if (root.right == null) return root.left;

如果该节点有有两个子节点，麻烦了，为了不破坏 BST 的性质，A必须找到左子树中最大的那个节点，或者右子树中最小的那个节点来接替自己。我们以第二种方式讲解。

if (root.left != null && root.right != null) {
    // 找到右子树的最小节点
    TreeNode minNode = getMin(root.right);
    // 把 root 改成 minNode
    root.val = minNode.val;
    // 转而去删除 minNode
    root.right = deleteNode(root.right, minNode.val);
}

总体代码如下：

TreeNode deleteNode(TreeNode root, int key) {
    if (root == null) return null;
    if (root.val == key) {
        // 这两个 if 把情况 1 和 2 都正确处理了
        if (root.left == null) return root.right;
        if (root.right == null) return root.left;
        // 处理情况 3
        TreeNode minNode = getMin(root.right);
        root.val = minNode.val;
        root.right = deleteNode(root.right, minNode.val);
    } else if (root.val > key) {
        root.left = deleteNode(root.left, key);
    } else if (root.val < key) {
        root.right = deleteNode(root.right, key);
    }
    return root;
}

TreeNode getMin(TreeNode node) {
    // BST 最左边的就是最小的
    while (node.left != null) node = node.left;
    return node;
}

删除操作就完成了。注意一下，这个删除操作并不完美，因为我们一般不会通过root.val = minNode.val修改节点内部的值来交换节点，而是通过一系列略微复杂的链表操作交换root和minNode两个节点。

因为具体应用中，val域可能会是一个复杂的数据结构，修改起来非常麻烦；而链表操作无非改一改指针，而不会去碰内部数据。

不过这里我们暂时忽略这个细节，旨在突出 BST 基本操作的共性，以及借助框架逐层细化问题的思维方式。

1、如果当前节点会对下面的子节点有整体影响，可以通过辅助函数增长参数列表，借助参数传递信息。

2、在二叉树递归框架之上，扩展出一套 BST 代码框架：

void BST(TreeNode root, int target) {
    if (root.val == target)
        // 找到目标，做点什么
    if (root.val < target) 
        BST(root.right, target);
    if (root.val > target)
        BST(root.left, target);
}

3、根据代码框架掌握了 BST 的增删查改操作。

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