算法学习(四)
- 迭代加深搜索(Iterative Deepening DFS,IDDFS)
迭代加深搜索结合了BFS和DFS的思想。当我们遇到一个搜索问题是，它的搜索树非常特别，深度极深，宽度极广，使用DFS递归过长，使用BFS会使得队列爆炸。因此我们可以使用IDDFS解决这个问题。它的思想是：先假定一个搜索深度为1，然后用DFS搜索到第一层停止，在这个过程中，每一层的广度上采用BFS搜索。如果没有找到，则向深度为2的第二层搜索，依次递归。逐步扩大搜索的深度，直到找到答案。
下面用埃及分数的例子加以说明。
(*埃及分数：例如19/45 = 1/3+1/12+1/180，也可以写成19/45 = 1/5+1/6+1/18，即把一个分数拆分成数个1/n的和，且加数中全不相同，要求：加数的个数尽可能小，同时最小的分数越大越好。)
这个问题有几个难点：
- 在埃及分数计算时，如何不让分数被化为小数从而损失精度？
- DFS搜索时如何剪枝？
- 如何保证最优解？
4.找到下一个最大的埃及分数后该如何处理？
对于第一个问题，我们可以这样解决：
这样我们就解决了第一个问题。这个过程用GCD( )求取最大公约数。注意在b/a-1/k后需要约分。
接下来解决关于剪枝的问题。下图很好的解释了这个问题：
以及代码的复现：
二、并查集(Disjoint Set)
并查集是指：将编号1-n的n个对象划分为不相交集合，在每个集合中，选择某个元素代表所在的集合。并查集主要用于处理一些不相交集合的合并问题。
并查集操作的简单原理用一个简单的例子加以说明。假设：有n个人一起吃饭，有人相互认识。认识的人想跟认识的人坐在一张桌子上，那么给出认识的人的关系，求解桌子的数量。现在我们先用图来表示一下我们的思路：
假设有1,2,3,4,5分别代表五个集合，A,B,C,D,E分别代表五个人。先假设他们有如下关系：
1 2 3 4 5
A B C D E
即对应的人是对应集合中的元素。若A认识B，那么可以把A并入到集合2中，即把节点1的集合1改成节点2的集合2。示意图如下：
注意初始化是用元素表示它的集合s[i]，例如元素1的集合s[1] = 1。
附上代码的复现：
当然这个算法可以继续优化，简单说一下路径压缩。在查询元素i所属集合需要搜索路径找到根节点，若在返回时把所属的集合改成根节点，下次搜索该元素的时候就能一常数时间内得到结果。
三、二叉树
用深度优先搜索二叉树，有以下方式：
- 先序遍历，即按照父节点，左儿子，右儿子的顺序进行遍历。
- 中序遍历，即按照左，父，右的顺序遍历。
- 后序遍历，按照左，右，父的顺序遍历。
需要注意的是，如果某刻二叉树已知“中序遍历+先序”或者“中序+后序”，都能确定唯一的一棵二叉树。但如果只知道“先序+后序”，则不能唯一确定一棵树。
二叉树的第n层最多有2^（n-1）个节点，如果每一层的节点数都是满的，称为满二叉树。如果满二叉树只在最后一层有缺失，那么称为完全二叉树。
- 二叉搜索树(Binary Search Tree，BST)
BST有如下特征：
- 每个元素有唯一的键值。通常把键值存放在BST的节点上。
- 任意一个节点的值，比它左子树的所有节点的键值大，比它右子树的所有节点键值小。
- BST排序和快速排序十分类似，它们实质上是做了相同的比较，只是比较的顺序不同。对于一个随机化的BST来说，它的树结点的平均深度是log n的。利用Jenson不等式证明，即F[E(x)] ≤ E[F(x)]。
一般而言，我们更希望一个数是平衡二叉树，而非链表一样的二叉树。这里补充说明一下平衡二叉树(AVL)：
平衡二叉树满足：
1. 是「二叉排序树」(即所有左子树的值小于根节点，右子树的值大于根节点)
2. 任何一个节点的左子树或者右子树都是「平衡二叉树」（左右高度差小于等于 1）
这样就避免了二叉树成为一个链表一样的排列，这个时候查找的效率是最差情况(the worst case)，它是O(n)的复杂度。
这个问题需要动态的调整使得二叉树保持平衡。BST的算法有AVL树，红黑树，Splay树等，可以优化树的结构。
总结：
这个星期阅读了有关搜索技术和一些高级数据结构内容。个人感觉有关二叉树的问题比较难，在网上也找了一些相关的网课，如MIT的算法导论，里面讲解的有关平衡二叉树的数学性质感觉没怎么听明白。然后有关红黑树，Treap树也看了一些，感觉关于树的动态调整还是理解不够。下个星期在进行详细的学习。