1. 概述
线性规划：在线性等式和不等式约束下最小化线性目标函数。
线性编程可解决以下形式的问题：
也就是说求解使得 \(c^{T} x\) 最小的x，同时x又要符合约束条件。
其中\(x\)是决策变量的向量；\(c\)，\(b_{ub}\)，\(b_{eq}\)，\(l\)和\(u\)是向量；\(A_{ub}\)和\(A_{eq}\)是矩阵。
2. 实例
2.1 问题
要最小化 \(Z = 0.4X_{1} + 0.5X_{2}\)，约束如下
2.2 求解
这里我们使用scipy中的linprog进行求解，其用法如下：
scipy.optimize.linprog(c, A_ub=None, b_ub=None, A_eq=None, b_eq=None,
bounds=None, method=‘simplex‘, callback=None, options=None）
其中，c为要最小化的线性目标函数的系数。，A_ub和b_ub对应线性不等式约束，A_eq和b_eq对应线性等式约束，bounds确定边界，如x≥0为（0，None），x无约束则为（None，None），method是求解器的类型，‘simplex‘ 为单纯形法，其他的参数暂时可忽略。
要使用linprog,目标函数要变成求最小值，如果原题目要求求max（最大值），只需对目标函数取负，但要注意求解的最终值是取负后的目标函数的最小值，取负即为最大值。
最终分析如下：
python代码如下：
import numpy as np
from scipy.optimize import linprog
c = np.array([0.4, 0.5])
A_ub = np.array([[0.3, 0.1], [-0.6, -0.4]]) # 不等式约束
b_ub = np.array([2.7, -6])
A_eq = np.array([[0.5, 0.5]]) # 等式约束
b_eq = np.array([6])
r = linprog(c, A_ub, b_ub, A_eq, b_eq, bounds=((0, None), (0, None)))
print(r)
运行结果如下所示：
con: array([9.3865955e-09])
fun: 5.2499999910145405
message: ‘Optimization terminated successfully.‘
nit: 5
slack: array([2.67959077e-09, 2.99999992e-01])
status: 0
success: True
x: array([7.5 , 4.49999999])
fun 为目标函数的最优值，slack 为松弛变量，status 表示优化结果状态，x 为最优解。
此模型的求解结果为：当 \(x_{1}=7.5\)，\(x_2=4.49999999\) 时，函数取得最小值5.2499999910145405
参考
https://www.pianshen.com/article/39912031011/
https://www.freesion.com/article/98311054345/
https://blog.csdn.net/weixin_43638511/article/details/104236557