1 题目
??最小覆盖矩形(Smallest Rectangle Enclosing Black Pixels)
lintcode:题号——600,难度——hard
2 描述
??一个由二进制矩阵表示的图,0 表示白色像素点,1 表示黑色像素点。黑色像素点是联通的,即只有一块黑色区域。像素是水平和竖直连接的,给一个黑色像素点的坐标 (x, y) ,返回囊括所有黑色像素点的矩阵的最小面积。
??样例1:
输入:["0010","0110","0100"],x=0,y=2
输出:6
解释:矩阵左上角坐标是(0, 1), 右下角的坐标是(2, 2)
??样例2:
输入:["1110","1100","0000","0000"], x = 0, y = 1
输出:6
解释:矩阵左上角坐标是(0, 0), 右下角坐标是(1, 3)
3 思路
??从答案反向找思路,要得到面积,需要横向跨度和纵向跨度,横向需要分别找到最左边和最右边,纵向需要分别找到最上面和最下面,题中给出了一个种子点,即其中一个黑子所在的位置,从种子点分别向上、下、左、右四个方向看,例如向左的情况,需要找到最左端的黑子,而最左端的黑子不一定与种子点在同一行,所以我们要考虑整个左半矩阵图,由于只要找到最左端的横向坐标即可,不用关心列坐标,可以将左半矩阵图纵向压缩进同一行,这样只要该列存在任何黑子,则将压缩后形成的点标记为黑,因为所有的黑子是联通的,最后向左看的情况一定会形成“oooxxx”形式的数列,使用二分法即可找到最左端边缘。
??按照相同的思路可以找到其他三个方向的边缘,然后得到横纵跨度,再得到面积。
- 考虑左半矩阵,以每列是否存在黑子为条件,二分查找最左边缘;
- 分别得到四个方向的边缘;
- 计算横纵跨度,得到面积。
??扩展。
其实题目中给出的种子点有点奇怪,按照常理来判断给不给这个种子点的位置,都是能得到答案的,题中直接给出了,简化了这一步。题目也可以使用广度优先搜索来做,可以思考一下。
3.1 图解
输入:["0000100","0111100","0001100","0011110","0000000"],
x = 2, y = 4
输出:20
3.2 时间复杂度
??算法在每一个方向使用一次二分法,假定矩阵图有m行n列,相同维度的二分法耗时可以整体来算,横向上二分法操作的时间复杂度为O(log n)
,纵向上二分法操作的时间复杂度为O(log m)
。
??横向的二分法每次判断都包含一次对列的遍历操作的时间复杂度O(m)
,纵向的二分法每次判断都包含一次对行的遍历的时间复杂度O(m)
。
??横向二分法总耗时O(m * log n)
,纵向二分法总耗时O(n * log m)
。
??算法的时间复杂度为O(m * log n + n * log m)
,其中m
为矩阵图的行数,n
为矩阵图的列数。
3.3 空间复杂度
??算法的空间复杂度为O(1)
。
4 源码
??注意事项:
- 题目给出的种子点坐标(x, y),x表示二维数组的行序号,y表示二维数组的列序号,所以x是纵向的距离,y是横向的距离,这点和直角坐标系的x方向和y方向刚好相反,很容易想歪,思路要清晰;
- 求面积的时候,注意一个点代表一距离,不是一条边代表一距离。
??C++版本:
/**
* @param image: 代表包含‘0‘和‘1‘为元素的二进制矩阵图
* @param x: 初始黑点的纵坐标
* @param y: 初始黑点的横坐标
* @return: 最小覆盖矩形的面积
*/
int minArea(vector<vector<char>> &image, int x, int y) {
// write your code here
if (image.empty() || image.front().empty()) // 横纵都不能为空
{
return 0;
}
int maxRow = image.size() - 1;
int maxColumn = image.front().size() - 1;
// 计算四个方向最边缘点的下标
int left = calLeftEdge(image, 0, y);
int right = calRightEdge(image, y, maxColumn);
int top = calTopEdge(image, 0, x);
int bottom = calBottomEdge(image, x, maxRow);
return (right - left + 1 ) * (bottom - top + 1);
}
// 计算最左边缘黑点的横坐标
int calLeftEdge(vector<vector<char>> & image, int start, int end)
{
int mid = 0;
while (start + 1 < end)
{
mid = start + (end - start) / 2;
if (isColWhite(image, mid))
{
start = mid;
}
else
{
end = mid;
}
}
if (isColWhite(image, start))
{
return end;
}
else
{
return start;
}
}
// 计算最右边缘黑点的横坐标
int calRightEdge(vector<vector<char>> & image, int start, int end)
{
int mid = 0;
while (start + 1 < end)
{
mid = start + (end - start) / 2;
if (isColWhite(image, mid))
{
end = mid;
}
else
{
start = mid;
}
}
if (isColWhite(image, end))
{
return start;
}
else
{
return end;
}
}
// 计算最上边缘黑点的纵坐标
int calTopEdge(vector<vector<char>> & image, int start, int end)
{
int mid = 0;
while (start + 1 < end)
{
mid = start + (end - start) / 2;
if (isRowWhite(image, mid))
{
start = mid;
}
else
{
end = mid;
}
}
if (isRowWhite(image, start))
{
return end;
}
else
{
return start;
}
}
// 计算最下边缘黑点的纵坐标
int calBottomEdge(vector<vector<char>> & image, int start, int end)
{
int mid = 0;
while (start + 1 < end)
{
mid = start + (end - start) / 2;
if (isRowWhite(image, mid))
{
end = mid;
}
else
{
start = mid;
}
}
if (isRowWhite(image, end))
{
return start;
}
else
{
return end;
}
}
// 判断行中是否全为白点
bool isRowWhite(vector<vector<char>> & image, int row)
{
for (int i = 0; i < image.front().size(); i++)
{
if (image.at(row).at(i) == ‘1‘)
{
return false;
}
}
return true;
}
// 判断列中是否全为白点
bool isColWhite(vector<vector<char>> & image, int col)
{
for (int i = 0; i < image.size(); i++)
{
if (image.at(i).at(col) == ‘1‘)
{
return false;
}
}
return true;
}