欧几里得算法和扩展的欧几里得算法C++递归实现

关于欧几里得算法的流程不再赘述，不清楚的可以搜得到。本篇主要通过C++代码利用递归的思想实现，参考书籍是《密码编码与信息安全:C++实践》。

1、欧几里得算法实现

欧几里得算法比较简单，主要用于求两个数(多项式)的最大公因数(式)，直接上代码。

#include <iostream>
using namespace std;
int Euclidean(int a, int b){
	if(b==0){
		return a;
	}else{
		return Euclidean(b, a%b);
	}
}

2、扩展的欧几里得算法实现

扩展的欧几里得算法主要用于求模逆运算。我第一次实现扩展的欧几里得算法是通过辗转相除，然后再回溯求出了 a a a和 b b b的系数。感觉可以像普通欧几里得算法一样可以递归编程，但是总是没想出来。后来借助参考书实现了。主要思想是要写出此时的递推关系式。

2.1递推关系式的说明

扩展欧几里得算法本质上是要求得
a × s + b × t = g c d a\times s+b\times t=gcd a×s+b×t=gcd
这个式子。按照递归的思想，我们应该这么考虑：要利用递归得到 a a a和 b b b的式子，结合辗转相除的原理，我们肯定是先得到 b b b和 a ( m o d b ) a\pmod b a(modb)的关系式。假设已经有了
s ′ × b + t ′ × ( a ( m o d b ) ) = g c d s'\times b+t'\times (a\pmod b)=gcd s′×b+t′×(a(modb))=gcd

如何得到我们需要的式子？

做一个简单的变形就出来了：我们知道 a ( m o d b ) = a − ⌊ a / b ⌋ ∗ b a\pmod b=a-\lfloor a/b\rfloor *b a(modb)=a−⌊a/b⌋∗b，代进上式，有
s ′ × b + t ′ × ( a ( m o d b ) ) = s ′ × b + t ′ × ( a − ⌊ a / b ⌋ ∗ b ) = t ′ × a + ( s ′ − t ′ × ⌊ a / b ⌋ ) × b = g c d s'\times b+t'\times (a\pmod b)=s'\times b+t'\times (a-\lfloor a/b\rfloor *b)\\ =t'\times a+(s'-t'\times \lfloor a/b\rfloor)\times b =gcd s′×b+t′×(a(modb))=s′×b+t′×(a−⌊a/b⌋∗b)=t′×a+(s′−t′×⌊a/b⌋)×b=gcd
所以递归就是根据这个式子编出的。具体代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
struct ExtEuc
{
	int gcd;
	int s;
	int t;
};
//the most important is the "recursion formula"，espeacially in Extends_Eclidean
ExtEuc Extends_Eclidean(int a, int b){
	ExtEuc obj, obj1;
	if(b == 0){
		obj1.gcd = a;
		obj1.s = 1;
		obj1.t = 0;
		return obj1;
	}
	obj1 = Extends_Eclidean(b, a%b);
	//attention!!
	obj.gcd = obj1.gcd;
	obj.s = obj1.t;
	obj.t = obj1.s - (a/b)*obj1.t;
	return obj;
}

3、整体代码如下

#include <iostream>
using namespace std;
struct ExtEuc
{
	int gcd;
	int s;
	int t;
};

//the most important is the "recursion formula"，espeacially in Extends_Eclidean
int Euclidean(int a, int b){
	if(b==0){
		return a;
	}else{
		return Euclidean(b, a-(a/b)*b);
	}
}

ExtEuc Extends_Eclidean(int a, int b){
	ExtEuc obj, obj1;
	if(b == 0){
		obj1.gcd = a;
		obj1.s = 1;
		obj1.t = 0;
		return obj1;
	}

	obj1 = Extends_Eclidean(b, a%b);
	//attention!!
	obj.gcd = obj1.gcd;
	obj.s = obj1.t;
	obj.t = obj1.s - (a/b)*obj1.t;
	return obj;
	
}

int main()
{
    int *a = Extends_Eclidean(138,259);
	cout << a[0] << endl << a[1] << endl << a[2] << endl;
    return 0;
}

[1] 王静文, 吴晓艺. 密码编码与信息安全:C++实践[M]. 清华大学出版社, 2015.