题意

有一排\(n\)个格子，\(i\)操作会使\(i\)和\(i+1\)都变黑。

一个操作序列的得分为染黑所有格子时所用的步数

问所有排列的得分和。

\(n\le 10^6\)

传送门

思路

有一个很直观的感觉：要枚举步数。然后问题就是如何在\(O(1)\)时间内求出排列数。

考虑\(1\)和\(n-1\)是必须染的，剩下的操作只要相邻两个相差不超过\(2\)就好了。那么可以发现要么是一个挨着一个，要么是一个空一格，转化成求有多少种安排空格的方法。

\(k\)个操作，取掉头尾\(k-2\)个，总共\(k-1\)个间隔，要放入\((n-k)-1\)个空格，所以可行的组合数使\(C(k-1,n-k-1)\)然后再乘上\(k!\)以及剩下的\((n-1-k)!\)，但发现有可能会有\(k\)步之前就完成的，只要减去\(k-1\)时的答案就好了

#include <bits/stdc++.h>

const int N=1000005,mu=1000000007;

int inv[N],p[N],n,ans,last;

int ksm(int x,int y){

	int ans=1;

	for (;y;y>>=1,x=x*1ll*x%mu)

		if (y&1) ans=1ll*ans*x%mu;

	return ans;

}

int C(int x,int y){

	return 1ll*p[x]*inv[y]%mu*inv[x-y]%mu;

}

int main(){

	scanf("%d",&n);

	p[0]=1;

	for (int i=1;i<=n;i++) p[i]=1ll*i*p[i-1]%mu;

	inv[n]=ksm(p[n],mu-2);

	for (int i=n-1;i>=0;i--) inv[i]=inv[i+1]*1ll*(i+1)%mu;

	for (int i=(n+1)/2;i<=n-1;i++){

		int x=C(i-1,n-i-1)*1ll*p[i]%mu*p[n-i-1]%mu;

		ans=(ans+i*1ll*(x-last+mu)%mu)%mu;

		last=x;

	}

	printf("%d\n",ans);

}

后记

好神仙啊