信息的表示（一）

现代计算机存储和处理的信息均以二值信号表示。对于人来说，十进制已经完全够了，但对于计算机来说，二进制会表现得更好，为什么可以参考《从编码到二进制》一文。不同的数字有着不同的含义，这个含义是我们人去定义的，计算机如何理解，需要人去告诉它。对于不同的编程语言，计算机会有不同的理解方式。在此我们主要讨论的是C语言在计算机中的表示，其他语言使用了类似的方式，只是存在细微差别。

大多数的计算机使用一个字节作为最小的寻址单位，一个字节是由8个位组成的。我们研究三种最重要的数字表示法，分别是无符号数，补码和浮点数。在本文中我们先讨论无符号数和补码。

无符号数

对于传统的非负数，我们可以很容易的将十进制转换为二进制，只需要有足够多的位来表示就可以了。

补码

上述提到了传统的非负数，那么如果是负数怎么办呢？如果在前面增加一个符号位会怎样？例如，最开始从左到右的第一位如果是1表示负数，0则表示正数。这似乎不是一个很好的办法，因为这增加了额外的开销，而且对于0，将会有+0和-0两种情况，这将对数字处理带来不必要的麻烦（实际上这也就是反码）。考虑这样一个事实，如果在无符号数中使用0减去1会得到怎样的结果。当然在我们看来，结果显然是-1，但在计算机中却得到了1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111，即32个1组成的串。因为当减出来的数是一个负数是，原先的被减数显然不足以被减，需要向前面借位，同时无符号数字的位数足够多的情况下则一定以0开头，而这也就导致一个事实 —— 负数一定以1开头。
这似乎是一个天然的规律，可不可以使用这个规律来表示负数呢？答案是可以的。将二进制串看成一个比特向量，例如1111 1111可以看成\([x_{w-1}, x_{w-2}, x_{w-3}, x_{w-4}, x_{w-5}, x_{w-6}, x_{w-7}, x_{w-8}]\)，w表示长度，其中每一位均为1。在无符号数的表示中，每一个位乘上该位的权重，再加和即可得到最后的十进制非负数结果。而在补码中，第一位可以看作是一个符号位，但它也是带有权重的，这个权重是\(-x_{w-1}2^{w-1}\)，也就是将无符号数原先该位的权重加上了负号得到的解。这样既没有多余的开销来表达负数也没有+0和-0的区别。

对比二者的转换

将无符号数x转换成十进制：

\[func(\vec {x}) \doteq \sum \limits _ {i=0}^{w-1}x_i2^i \]

将补码x转换成十进制：

\[func(\vec{x}) \doteq -x _ {w-1}2^{w-1}+ \sum \limits_ {i=0}^{w-2}x_i2^i \]

有了以上公式，很容易得到无符号数和补码十进制的转换公式

将无符号数转为补码：

​ $$func(x) = x - x_{w-1}2^w$$

将补码转为无符号数：

​ $$func(x) = x + x_{w-1}2^w$$

位级运算

布尔运算

布尔运算中有与或非三种最基本情况，这放在二进制表示数字的每一个位上同样适用。在C语言中，可以对一个数字求非，对两个数字求与和或，运算符分别是~、&、|。如果有布尔代数的知识基础在这里会很容易理解。

逻辑运算

有了基础的布尔运算还不太够，因为程序中一定会设计到大量的逻辑判断，是或者否。于是也就有了逻辑运算符&&、||、!，分别对应于命题逻辑中的AND、OR、NOT。

移位运算

移位运算也就是在位的角度，将位进行左移或者是右移。在C语言中，对位执行左移，将会在右边补上0。但对位执行右移，则存在了两种不同的情况，分别是逻辑右移和算数右移，C语言标准并没有明确规定使用哪种情况，但事实上几乎所有的机器都对有符号数字使用算数右移，对无符号数字均使用逻辑右移。我们来看一下这几种不同的情况。

操作	值1	值2
参数x	01100011	10010101
x << 4	00110000	01010000
x >> 4 (逻辑右移)	00000110	00001001
x >> 4 (算术右移)	00000110	11111001