EM最大期望化算法

最大期望算法Expectation-maximization algorithm,又译期望最大化算法)在统计中被用于寻找,依赖于不可观察的隐性变量的概率模型中,参数的最大似然估计。
统计计算中,最大期望(EM)算法是在概率(probabilistic)模型中寻找参数最大似然估计或者最大后验估计的算法,其中概率模型依赖于无法观测的隐藏变量(Latent Variable)。最大期望经常用在机器学习计算机视觉数据聚类(Data Clustering)领域。
最大期望算法经过两个步骤交替进行计算
  第一步是计算期望(E),利用对隐藏变量的现有估计值,计算其最大似然估计值;
  第二步是最大化(M),最大化在 E 步上求得的最大似然值来计算参数的值。
  M 步上找到的参数估计值被用于下一个 E 步计算中,这个过程不断交替进行。
总体来说,EM的算法流程如下:
  1.初始化分布参数
  2.重复直到收敛:
E步骤:估计未知参数的期望值,给出当前的参数估计
M步骤:重新估计分布参数,以使得数据的似然性最大,给出未知变量的期望估计。
 
迭代使用EM步骤,直至收敛。
  
  可以有一些比较形象的比喻说法把这个算法讲清楚。比如说食堂的大师傅炒了一份菜,要等分成两份给两个人吃,显然没有必要拿来天平一点一点的精确的去称分量,最简单的办法是先随意的把菜分到两个碗中,然后观察是否一样多,把比较多的那一份取出一点放到另一个碗中,这个过程一直迭代地执行下去,直到大家看不出两个碗所容纳的菜有什么分量上的不同为止。EM算法就是这样,假设我们估计知道A和B两个参数,在开始状态下二者都是未知的,并且知道了A的信息就可以得到B的信息,反过来知道了B也就得到了A。可以考虑首先赋予A某种初值,以此得到B的估计值,然后从B的当前值出发,重新估计A的取值,这个过程一直持续到收敛为止。
  EM 算法是 Dempster,Laind,Rubin 于 1977 年提出的求参数极大似然估计的一种方法,它可以从非完整数据集中对参数进行 MLE 估计,是一种非常简单实用的学习算法。这种方法可以广泛地应用于处理缺损数据,截尾数据,带有噪声等所谓的不完全数据(incomplete data)。
  假定集合Z = (X,Y)由观测数据 X 和未观测数据Y 组成, X 和Z = (X,Y)分别称为不完整数据和完整数据。假设Z的联合概率密度参数化地定义为P(X,Y|Θ),其中Θ 表示要被估计的参数。Θ 的最大似然估计是求不完整数据的对数似然函数L(X;Θ)的最大值而得到的:
  L(Θ; X )= log p(X |Θ) = ∫log p(X ,Y |Θ)dY ;
EM算法包括两个步骤:由E步和M步组成,它是通过迭代地最大化完整数据的对数似然函数Lc( X;Θ )的期望来最大化不完整数据的对数似然函数,其中:
  Lc(X;Θ) =log p(X,Y |Θ) ;
假设在算法第t次迭代后Θ 获得的估计记为Θ(t ) ,则在(t+1)次迭代时,
E-步:计算完整数据的对数似然函数的期望,记为:
Q(Θ |Θ (t) ) = E{Lc(Θ;Z)|X;Θ(t) };
M-步:通过最大化Q(Θ |Θ(t) ) 来获得新的Θ 。
通过交替使用这两个步骤,EM算法逐步改进模型的参数,使参数和训练样本的似然概率逐渐增大,最后终止于一个极大点。直观地理解EM算法,它也可被看作为一个逐次逼近算法:事先并不知道模型的参数,可以随机的选择一套参数或者事先粗略地给定某个初始参数λ0 ,确定出对应于这组参数的最可能的状态,计算每个训练样本的可能结果的概率,在当前的状态下再由样本对参数修正,重新估计参数λ ,并在新的参数下重新确定模型的状态,这样,通过多次的迭代,循环直至某个收敛条件满足为止,就可以使得模型的参数逐渐逼近真实参数。
EM算法的主要目的是提供一个简单的迭代算法计算后验密度函数,它的最大优点是简单和稳定,但容易陷入局部最优
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