线性代数相关

行列式相关

定义

1. 行列相等，自身有运算
2. n的二次方个数n行n列，为n阶行列式
3. 在n阶行列式中，把某元素的所在的i行和j列划去后，留下的n-1阶行列式是该元素的余子式，记为Mij
4. 代数余子式：i+j为奇数，代数余子式取负号，反之取正号，记为Aij

性质：

1. 行列式与它转置行列式值相等
2. 互换行列式的两行(列)，行列式变号
3. 数k乘行列式等于其某一行(列)中所有元素乘以数k
4. 若某行(列)元素都是两个数的和，则可拆分成两个相加
5. 某行(列)个各元素同乘数k，加到另一行(列)对应元素上，行列值不变

推论：

1. 两行(列)完全相等，行列式等于零
2. 某行(列)所有元素含公因子k，k可提到行列式符号外
3. 两行(列)成比例，行列式等于零
4. 行列式任意一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和为常数0

计算：

1. 定义法：对角线法则(适用于二三阶)
2. 降阶法：利用性质拆封成低阶
3. 化三角形法：上三角、下三角
4. 定理法：n阶行列式等于它任意一行(列)的所有元素与它们对应的代数余子式乘积之和

应用：

利用克莱姆法则求解线性方程组

矩阵相关

定义：

1. 有m*n个数排成的m行n列的数表，大写字母A,B等表示
2. 行数和列数分别对应的两个矩阵为同型矩阵
3. 特殊矩阵：行(列)矩阵[仅有一行(列)]，零矩阵[元素都为0]，方阵[行列相同]，对角矩阵[仅主对角元为非零]，单位矩阵E[主对角元都为1]，三角矩阵[主对角线上(下)方都为0]

运算：

加法：设A,B,C为同类型矩阵，O为同型零矩阵，则
1. A+B=B+A (交换律)
2. (A+B)+C=A+(B+C) (结合律)
3. A+O=O+A=A
4. A+(-A)=O

数与矩阵相乘：设A,B为同类型矩阵，p,q为常数，则
1. (pq)A=p(qA)
2. (p+q)A=pA+qA
3. p(A+B)=pA+qB
4. 1A=A

矩阵乘法：1阵列数需等于2阵行数，乘积的行数等于1阵行数，列数等于2阵列数
1. (AB)C=A(BC)
2. k(AB)=(kA)B=A(kB),s为数
3. A(B+C)=AB+AC;(B+C)A=BA+CA
4. EmAm*n=A;Am*nEn=A
注意：不满足交换律、消去律，两个非零的矩阵的乘积可能是零矩阵，只有是方阵时才能使矩阵的幂有意义

转置：

行列转换的矩阵，有以下运算规律:
1. A的转置的转置=A
2. (A+B)的转置=A的转置+B的转置
3. (kA)的转置=k*A的转置
4. (AB)的转置=B的转置*A的转置

矩阵的初等变换和秩

初等行变换：

1. 交换矩阵的两行
2. 矩阵某一行元素同乘一个不为零的数
3. 矩阵某一行元素同乘一个不为零的数并加到另一方对应元素上
变换方法：从左至右，从上到下

行阶梯形矩阵，简称为阶梯形矩阵的条件：
1. 零行(元素都为0)位于最下方
2. 首非零元的列标随着行标的递增而严格增大

最简阶梯型矩阵，简称行最简的条件：每个非零行第一个非零元素为1，且该列其余元素全为0

注意：
1. 变化过程中，原矩阵到新矩阵之间只能画箭头，不能画等号，行变换写在箭头上，列变换在箭头下
2. 行阶梯形于行最简不是唯一的

矩阵的秩

• 定义：利用初等行变换把矩阵A化为阶梯形矩阵，非零行数为r，称r为矩阵A的秩，记作r(A)=r

逆矩阵

定义

1. 设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B，满足：AB=BA=E则称A是可逆的(A可逆)，称B为A的逆矩阵
2. 由n阶方阵A的元素构成的行列式，称为方阵A，记作|A|或detA
3. 伴随矩阵A*:代数余子式转置组成的方阵
4. 若n阶矩阵A的行列式不为零，即|A|不等于零，则称A为非奇异矩阵(与可逆等价)，否则为奇异矩阵

定义:

矩阵A,B:
1. (A逆)的逆=A
2. (A转置)的逆=A的转置+B的转置
3. (AB)的逆=B的逆*A的逆
4. (A转置)的逆=(A逆)的转置
5. |A逆|=1/|A|

求逆矩阵:

• A逆=1/|A|*A的伴随矩阵
• 初等变换法:(A E)->(E A逆)
注意:n阶的充分必要条件为:|A|不等于0 设AX=B,求X:(A B)->(E A逆*B),解X=A逆*B

线性方程组的解

解的讨论:

A为方程组的系数矩阵,B为常数矩阵,(A B)称为增广矩阵,符号为A头上上加横线 常数项都为0的方程组为其次方程组,反之为非齐次

齐次:必有一解x=0
• 只有零解:|A|不等于0
• 有非零解:|A|=0

非齐次:
• 唯一解:|A|不等于0
• 无穷多解:r(A)=r(A|B)
• 无解:r(A)(a|b)

矩阵求解线性方程组:

初等变换求解:
1. 写出对应的增广矩阵
2. 初等变换化增广矩阵为行阶阶梯形或行最简
3. 如果化简后出现0=d而d不等于0,则无解,否则,化简后的增广矩阵对应方程组的解就是原方程的解
注意:适当利用换行,将"简单"行换到前面,利用它化简其他行,会使计算简单

逆矩阵法求解:
1. 写出对应的系数矩阵A,常数矩阵B
2. 若B=0,求矩阵A的行列式|A|;若|A|=0则有无穷多非零解,|A|不等于0时只有零解;若B不等于0,|A|=0则无解或有无穷多解,|A|不等于0则有唯一解;将方程组写成矩阵AX=B
3. 求A逆
4. 求出X=A逆*B,X即为解

线性代数知识点