上节，我们学习了如何通过卷积网络实现滑动窗口对象检测算法，但效率很低。这节我们讲讲如何在卷积层上应用这个算法。
为了构建滑动窗口的卷积应用，首先要知道如何把神经网络的全连接层转化成卷积层。我们先讲解这部分内容，并演示卷积的应用过程。
一 卷积的滑动窗口实现
假设对象检测算法输入一个 14×14×3 的图像，图像很小，不过演示起来方便。在这里过滤器大小为 5×5，数量是 16， 14×14×3 的图像在过滤器处理之后映射为 10×10×16。然后通过参数为 2×2 的最大池化操作，图像减小到 5×5×16。然后添加一个连接 400 个单元的全连接层，接着再添加一个全连接层，最后通过 softmax 单元输出y。为了跟下图区分开，我先做一点改动，用 4 个数字来表示y，它们分别对应 softmax 单元所输出的 4 个分类出现的概率。这 4 个分类可以是行人、汽车、摩托车和背景或其它对象。
现在我要演示的就是如何把这些全连接层转化为卷积层，画一个这样的卷积网络，它的前几层和之前的一样，而对于下一层，也就是这个全连接层，我们可以用 5×5 的过滤器来实现，数量是 400 个(编号 1 所示)，输入图像大小为 5×5×16，用 5×5 的过滤器对它进行卷积操作，过滤器实际上是 5×5×16，因为在卷积过程中，过滤器会遍历这 16 个通道，所以这两处的通道数量必须保持一致，输出结果为 1×1。假设应用 400 个这样的 5×5×16 过滤器，输出维度就是 1×1×400，我们不再把它看作一个含有 400 个节点的集合，而是一个 1×1×400的输出层。从数学角度看，它和全连接层是一样的，因为这 400 个节点中每个节点都有一个5×5×16 维度的过滤器，所以每个值都是上一层这些 5×5×16 激活值经过某个任意线性函数的输出结果。
我们再添加另外一个卷积层(编号 2 所示)，这里用的是 1×1 卷积，假设有 400 个 1×1的过滤器，在这 400 个过滤器的作用下，下一层的维度是 1×1×400，它其实就是上个网络中的这一全连接层。最后经由 1×1 过滤器的处理，得到一个 softmax 激活值，通过卷积网络，我们最终得到这个 1×1×4 的输出层，而不是这 4 个数字（编号 3 所示）。
以上就是用卷积层代替全连接层的过程，结果这几个单元集变成了 1×1×400 和 1×1×4 的维度。
掌握了卷积知识，我们再看看如何通过卷积实现滑动窗口对象检测算法。
假设向滑动窗口卷积网络输入 14×14×3 的图片，为了简化演示和计算过程，这里我们依然用 14×14的小图片。和前面一样，神经网络最后的输出层，即 softmax单元的输出是 1×1×4，我画得比较简单，严格来说， 14×14×3 应该是一个长方体，第二个 10×10×16 也是一个长方体，但为了方便，我只画了正面。所以，对于 1×1×400 的这个输出层，我也只画了它 1×1 的那一面，所以这里显示的都是平面图，而不是 3D 图像。
假设输入给卷积网络的图片大小是 14×14×3，测试集图片是 16×16×3，现在给这个输入图片加上黄色条块，在最初的滑动窗口算法中，你会把这片蓝色区域输入卷积网络(红色笔标记)生成 0 或 1 分类。接着滑动窗口，步幅为 2 个像素，向右滑动 2 个像素，将这个绿框区域输入给卷积网络， 运行整个卷积网络，得到另外一个标签 0 或 1。继续将这个橘色区域输入给卷积网络，卷积后得到另一个标签，最后对右下方的紫色区域进行最后一次卷积操作。我们在这个 16×16×3 的小图像上滑动窗口，卷积网络运行了 4 次，于是输出了了 4 个标签。
结果发现，这 4 次卷积操作中很多计算都是重复的。所以执行滑动窗口的卷积时使得卷积网络在这 4 次前向传播过程*享很多计算，尤其是在这一步操作中（编号 1），卷积网络运行同样的参数，使得相同的 5×5×16 过滤器进行卷积操作，得到 12×12×16 的输出层。然后执行同样的最大池化（编号 2） ，输出结果 6×6×16。照旧应用 400 个 5×5 的过滤器（编号3），得到一个 2×2×400 的输出层，现在输出层为 2×2×400，而不是 1×1×400。应用 1×1 过滤器（编号 4）得到另一个 2×2×400 的输出层。再做一次全连接的操作（编号 5），最终得到2×2×4 的输出层，而不是 1×1×4。最终，在输出层这 4 个子方块中，蓝色的是图像左上部分14×14 的输出（红色箭头标识），右上角方块是图像右上部分（绿色箭头标识）的对应输出，左下角方块是输入层左下角（橘色箭头标识），也就是这个 14×14 区域经过卷积网络处理后的结果，同样，右下角这个方块是卷积网络处理输入层右下角 14×14 区域(紫色箭头标识)的结果。
如果你想了解具体的计算步骤，以绿色方块为例，假设你剪切出这块区域（编号 1），传递给卷积网络，第一层的激活值就是这块区域（编号 2），最大池化后的下一层的激活值是这块区域（编号 3），这块区域对应着后面几层输出的右上角方块（编号 4， 5， 6）。
所以该卷积操作的原理是我们不需要把输入图像分割成四个子集，分别执行前向传播，而是把它们作为一张图片输入给卷积网络进行计算，其中的公共区域可以共享很多计算，就像这里我们看到的这个 4 个 14×14 的方块一样。
下面我们再看一个更大的图片样本，假如对一个 28×28×3 的图片应用滑动窗口操作，如果以同样的方式运行前向传播，最后得到 8×8×4 的结果。跟上一个范例一样，以 14×14 区域滑动窗口，首先在这个区域应用滑动窗口，其结果对应输出层的左上角部分。接着以大小为2 的步幅不断地向右移动窗口，直到第 8 个单元格，得到输出层的第一行。然后向图片下方移动，最终输出这个 8×8×4 的结果。因为最大池化参数为 2，相当于以大小为 2 的步幅在原始图片上应用神经网络。
总结一下滑动窗口的实现过程，在图片上剪切出一块区域，假设它的大小是 14×14，把它输入到卷积网络。继续输入下一块区域，大小同样是 14×14，重复操作，直到某个区域识别到汽车。
但是正如在前一页所看到的，我们不能依靠连续的卷积操作来识别图片中的汽车，比如，我们可以对大小为 28×28 的整张图片进行卷积操作，一次得到所有预测值，如果足够幸运，神经网络便可以识别出汽车的位置。
以上就是在卷积层上应用滑动窗口算法的内容，它提高了整个算法的效率。不过这种算法仍然存在一个缺点，就是边界框的位置可能不够准确。下面，我们将学习如何解决这个问题。
二 Bounding Box 预测
上面，你们学到了滑动窗口法的卷积实现，这个算法效率更高，但仍然存在问题，不能输出最精准的边界框。在这里，我们看看如何得到更精准的边界框。
在滑动窗口法中，你取这些离散的位置集合，然后在它们上运行分类器，在这种情况下，这些边界框没有一个能完美匹配汽车位置，也许这个框（编号 1）是最匹配的了。还有看起来这个真实值，最完美的边界框甚至不是方形，稍微有点长方形（红色方框所示），长宽比有点向水平方向延伸，有没有办法让这个算法输出更精准的边界框呢？
其中一个能得到更精准边界框的算法是 YOLO 算法， YOLO(You only look once)意思是你只看一次，这是由 Joseph Redmon， Santosh Divvala， Ross Girshick 和 Ali Farhadi 提出的算法。
是这么做的，比如你的输入图像是 100×100 的，然后在图像上放一个网格。为了介绍起来简单一些，我用 3×3 网格，实际实现时会用更精细的网格，可能是 19×19。基本思路是使用图像分类和定位算法，前面介绍过的，然后将算法应用到 9 个格子上。（基本思路是，采用图像分类和定位算法，逐一应用在图像的 9 个格子中。）更具体一点，你需要这样定义训练标签，所以对于 9 个格子中的每一个指定一个标签y，y是 8 维的，和你之前看到的一样。
pc等于 0 或 1 取决于这个绿色格子中是否有图像。然后bx、by、bℎ和bw作用就是，如果那个格子里有对象，那么就给出边界框坐标。然后c1、c2和c3就是你想要识别的三个类别，背景类别不算，所以你尝试在背景类别中识别行人、汽车和摩托车，那么1、c2和c3可以是行人、汽车和摩托车类别。这张图里有 9 个格子，所以对于每个格子都有这么一个向量。
我们看看左上方格子，这里这个（编号 1），里面什么也没有，所以左上格子的标签向量y是：
然后这个格子（编号 2）的输出标签y也是一样，这个格子（编号 3），还有其他什么也没有的格子都一样。
现在这个格子呢？讲的更具体一点，这张图有两个对象， YOLO 算法做的就是，取两个对象的中点，然后将这个对象分配给包含对象中点的格子。所以左边的汽车就分配到这个格子上（编号 4），然后这辆 Condor（车型：神鹰）中点在这里，分配给这个格子（编号 6）。所以即使中心格子（编号 5）同时有两辆车的一部分，我们就假装中心格子没有任何我们感兴趣的对象，所以对于中心格子，分类标签 y 和这个向量类似，和这个没有对象的向量类似，即：
而对于这个格子，这个用绿色框起来的格子（编号 4），目标标签就是这样的，这里有一个对象，pc= 1，然后你写出bx、by、bℎ和bw来指定边界框位置，然后还有类别 1是行人，那么c1 = 0，类别 2 是汽车，所以c2 = 1，类别3是摩托车，则数值c3 = 0，即y为:
右边这个格子（编号 6）也是类似的，因为这里确实有一个对象，它的向量应该是这个样子的：
所以对于这里 9 个格子中任何一个，你都会得到一个 8 维输出向量，因为这里是 3×3 的网格，所以有 9 个格子，总的输出尺寸是 3×3×8，所以目标输出是 3×3×8。因为这里有 3×3格子，然后对于每个格子，你都有一个 8 维向量y，所以目标输出尺寸是 3×3×8。
对于这个例子中，左上格子是 1×1×8，对应的是 9 个格子中左上格子的输出向量。所以对于这 3×3 中每一个位置而言，对于这 9 个格子，每个都对应一个 8 维输出目标向量y，其中一些值可以是 dont care-s（即？），如果这里没有对象的话。所以总的目标输出，这个图片的输出标签尺寸就是 3×3×8。
如果你现在要训练一个输入为 100×100×3 的神经网络，现在这是输入图像，然后你有一个普通的卷积网络，卷积层，最大池化层等等，最后你会有这个，选择卷积层和最大池化层，这样最后就映射到一个 3×3×8 输出尺寸。所以你要做的是，有一个输入x，就是这样的输入图像，然后你有这些 3×3×8 的目标标签y。当你用反向传播训练神经网络时，将任意输入x映射到这类输出向量y。
所以这个算法的优点在于神经网络可以输出精确的边界框，所以测试的时候，你做的是喂入输入图像x，然后跑正向传播，直到你得到这个输出y。然后对于这里 3×3 位置对应的 9个输出，我们在输出中展示过的，你就可以读出 1 或 0（编号 1 位置），你就知道 9 个位置之一有个对象。如果那里有个对象，那个对象是什么（编号 3 位置），还有格子中这个对象的边界框是什么（编号 2 位置）。只要每个格子中对象数目没有超过 1 个，这个算法应该是没问题的。一个格子中存在多个对象的问题，我们稍后再讨论。但实践中，我们这里用的是比较小的 3×3 网格，实践中你可能会使用更精细的 19×19 网格，所以输出就是 19×19×8。这样的网格精细得多，那么多个对象分配到同一个格子得概率就小得多。
重申一下，把对象分配到一个格子的过程是，你观察对象的中点，然后将这个对象分配到其中点所在的格子，所以即使对象可以横跨多个格子，也只会被分配到 9 个格子其中之一，就是 3×3 网络的其中一个格子，或者 19×19 网络的其中一个格子。在 19×19 网格中，两个对象的中点（图中蓝色点所示）处于同一个格子的概率就会更低。
所以要注意，首先这和图像分类和定位算法非常像，我们在之前讲过的，就是它显式地输出边界框坐标，所以这能让神经网络输出边界框，可以具有任意宽高比，并且能输出更精确的坐标，不会受到滑动窗口分类器的步长大小限制。其次，这是一个卷积实现，你并没有在 3×3 网格上跑 9 次算法，或者，如果你用的是 19×19 的网格， 19 平方是 361 次，所以你不需要让同一个算法跑 361 次。相反，这是单次卷积实现，但你使用了一个卷积网络，有很多共享计算步骤，在处理这 3×3 计算中很多计算步骤是共享的，或者你的 19×19 的网格，所以这个算法效率很高。
事实上 YOLO 算法有一个好处，也是它受欢迎的原因，因为这是一个卷积实现，实际上它的运行速度非常快，可以达到实时识别。在结束之前我还想给你们分享一个小细节，如何编码这些边界框bx、by、bℎ和bw，我们在后面讨论。
这里有两辆车，我们有个 3×3 网格，我们以右边的车为例（编号 1），红色格子里有个对象，所以目标标签y就是,pc= 1，然后bx、by、bℎ和bw，然后c1 = 0，c2 = 1，c3 = 0,即
在 YOLO 算法中，对于这个方框（编号 1 所示），我们约定左上这个点是(0,0)，然后右下这个点是(1,1),要指定橙色中点的位置,bx大概是 0.4，因为它的位置大概是水平长度的0.4，然后by大概是 0.3，然后边界框的高度用格子总体宽度的比例表示，所以这个红框的宽度可能是蓝线（编号 2 所示的蓝线）的 90%，所以bh是 0.9，它的高度也许是格子总体高度的一半，这样的话bw就是 0.5。换句话说， bx、by、bℎ和bw单位是相对于格子尺寸的比列，所以bx和by必须在 0 和 1 之间，因为从定义上看，橙色点位于对象分配到格子的范围内，如果它不在 0 和 1 之间，如果它在方块外，那么这个对象就应该分配到另一个格子上。这个值(bh和bw）可能会大于 1，特别是如果有一辆汽车的边界框是这样的（编号 3 所示），那么边界框的宽度和高度有可能大于 1。
指定边界框的方式有很多，但这种约定是比较合理的，如果你去读 YOLO 的研究论文，YOLO 的研究工作有其他参数化的方式，可能效果会更好，我这里就只给出了一个合理的约定，用起来应该没问题。不过还有其他更复杂的参数化方式，涉及到 sigmoid 函数，确保这个值(bx和by)介于0和1之间，然后使用指数参数化来确保这些(bh和bw)都是非负数，这个必须大于等于 0。还有其他更高级的参数化方式，可能效果要更好一点，但我这里讲的办法应该是管用的。