四元数（quaternion）是三维旋转的常用表示形式

一个四元数h=w+xi+yj+zk，这里w，x，j，z∈ （空心R， 表示数域，正常的R表示实数集合）

这里的i，j，k都是虚数单位，即i^2=j^2=k^2=ijk=−1.

四元数通常被写成4-D向量h= (w, x, y, z)或者 h= (w,v)，其中v代表一个含有虚部的三维向量

两个单位复数的乘法可以定义2D 中的旋转

那么两个单位四元数的乘法就可以定义3D中的旋转

令p为一个要旋转的点，a为一条旋转轴而且=1，θ为旋转角。

那么我们得到俩个四元数h和p'和一个旋转公式

 

 

 

其中是旋转后的点，是h的共轭四元数（虚数部分的xyz全都取相反数）[1]。

对偶四元数/双四元数(dual quaternions)：

四元数是三维旋转的表示，对偶四元数则以统一的方式表示处理了旋转和平移

对偶数定义：

类似虚数，只是对偶单位的平方为0（一平方就把对偶部消掉了）

当对偶数的a和b不是一个数而是向量，那这就变成了对偶向量。

对偶四元数  本质上是四元数 ，但是他的实部w和虚部xyz都是对偶数而不是普通的实数；或者说对偶四元数本质上是对偶数，只是对偶部分和非对偶部分变成了俩四元数，

即  其中h和h’都是四元数。

正如单位四元数表示旋转一样，单位对偶四元数包含旋转R和平移t

非对偶部分h在（5）式中已有定义。对偶部分h’为下式（7）所示

参考文献：[1]J. Schmidt, F. Vogt, H. Niemann, Robust HandEye Calibration of an Endoscopic Surgery Robot Using Dual Quaternions, in Pattern Recognition. Lecture Notes in Computer Science (Springer, Berlin, 548– 556 (2003).