前置知识：\(\varphi(n),\mu(n),I(n)=1,\varepsilon(n)=[n=1],id(n)=n\)，积性函数。
狄利克雷卷积
数论函数 \(f,g\) 的狄利克雷卷积 \(f*g\) 定义如下：
\[(f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g\left(\frac nd\right)
\]
卷积有交换律，结合律，分配律。
三个重要恒等式：
- \(\mu*I=\varepsilon\)。
- \(\varphi*I=id\)。
- \(\mu*id=\varphi\)。
\(\varepsilon\) 是数论函数中的单位元。
莫比乌斯反演
定理：若 \(g=f*I\)，则 \(f=\mu*g\)。证明：
\[g=f*I\Rightarrow \mu*g=f*I*\mu=f*\varepsilon=f
\]
求和变形
技巧：
- 增加枚举变量。
- 交换枚举变量。
- 删除无用变量。
- 换元。