所谓 Prufer 序列，就是 Prufer 发明的序列。
（逃）
前言
优雅的神奇魔术。
看名字很高大难，但实际上是高大清（小清新）。
很简单的建立起树与序列之间的双射，且这个序列的性质非常良好，且这个序列的性质与度数密切相关。
能优雅简洁的证明一些恶心的结论。
解析
定义
把一棵树转化为 Prufer 序列的流程如下：
- 找到当前度数为1且编号最小的点 x x x。
- 将 x x x 点删去，将唯一与 x x x 相连的点 f f f （可以理解为以n作根情况下的“父亲”）加入 Prufer 序列。
- 将 f f f 的度数减一。
- 不断执行 1-3，直到只剩下两个点。
最终我们得到的长度为 n − 2 n-2 n−2 的序列即最终的 Prufer 序列。
性质
其有如下性质：
- 序列中的每个数都是 [ 1 , n ] [1,n] [1,n] 之间。
- 一个度数为 d x d_x dx 的点在序列中出现 d x − 1 d_x-1 dx−1 次。
- 最终剩下的两个点中必然有一个点为 n n n。
都较为显然。
把树转化为 Prufer 序列
利用 Prufer 序列的定义，开一个堆存当前的度数为1的点，即可
O
(
n
log
n
)
O(n\log n)
O(nlogn) 的构造。
但可以做到线性。
维护一个指针
p
p
p，从1扫到n，表示当前编号最小的一度点。每次后移指针知道找到一个一度点，将其加入 Prufer 序列，如果父亲减完度数变成了一度点且编号小于
p
p
p 则将父亲加入序列，并递归的考虑祖父，否则直接忽略。
注意这么做最后会得到一个
n
−
1
n-1
n−1 的序列，因为最后会把和
n
n
n 相连的点也删去。把序列尾抹掉即可。
for(int i=1;i<n;i++){
fa[i]=read();
du[i]++;du[fa[i]]++;
}
for(int p=1;p<n;p++){
if(du[p]>1) continue;
q[++tot]=fa[p];
int f=fa[p];
--du[f];
while(du[f]==1&&f<p){
q[++tot]=fa[f];
f=fa[f];
--du[f];
}
}
--tot;
把 Prufer 序列转化为树
利用 Prufer 序列的性质2，我们可以得到每个点的度数。
每次找到最小的一度点，它的父亲就是当前序列的队首元素，将其与队首连边，队首的度数减一，并后移队首指针。
和树转化为 Prufer 序列类似的，我们也可以维护一个指针
p
p
p 做到线性。
注意，由于 Prufer 序列的长度只有 n-2，我们必然只为 n-2 个结点分配了“父亲”（即连了n-2条边），最后我们最后找到那个没有被分配父亲的非 n 的点，将其与 n 相连即可。
for(int i=1;i<=n;i++) du[i]=1;
for(int i=1;i<=n-2;i++){
q[i]=read();++du[q[i]];
}
int pl=1;
for(int p=1;p<n&&pl<=n-2;p++){
if(du[p]>1) continue;
int x=p;
while(x<=p&&du[x]==1&&pl<=n-2){
fa[x]=q[pl];
du[q[pl]]--;
x=q[pl];
++pl;
}
}
for(int i=1;i<n;i++) if(!fa[i]) fa[i]=n;
凯莱定理
通过上面的构造我们可以知道，有标号无根树和Prufer序列是双射关系。
Prufer 序列的个数显然为
n
n
−
2
n^{n-2}
nn−2 个，那么我们也就自然得出了凯莱定理：
n n n 个结点的有标号无根树有 n n − 2 n^{n-2} nn−2 个。