随机事件与概率

可重复,结果明确可知且不能事先预见的试验被称为“随机试验”,且每一个结果被称为“样本点”,样本点的全体构成“样本空间”。“随机事件”就是样本空间的子集,若其只含有一个样本点,被称为“基本事件”。关于事件,有“包含”,“相等”,“相容”,“互斥”,“逆事件”,“和事件”,“积事件”,“差事件”,“完备事件组”等概念,由于均符合直觉,所以不过多赘述。

事件之间的运算,有如下法则:

  1. 并运算,交运算,是可交换的。
  2. 并运算,交运算,是可结合的
  3. 并运算和交运算分别对彼此满足分配律,而只有交运算对差运算满足分配律
  4. 吸收律。若\(A\subset B\),则\(A\cup B=B,A\cap B=A\)
  5. 德摩根律,过于符合直觉,不说

概率,频率,经常被说起两者的区别,所以这里为了新鲜性就不说了。有两种概率模型,古典概型和几何概型。前者基本事件有限且等可能发生,后者基本事件无限,等可能发生,且可度量。虽然好像每一种都有一些独特的题型,可是太简单了,还是不要浪费脑容量来记忆吧。

对于概率,有如下公式:

  1. 加法公式。\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)
  2. 减法公式。\(P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A\overline{B})\)
  3. 乘法公式。\(P(AB)=P(A)P(B|A),P(A)>0\)
  4. 条件概率公式。\(P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}\)
  5. 全概率公式。请自行想象吧。
  6. 贝叶斯公式。同上。

当事件A,B满足\(P(AB)=P(A)P(B)\),则称两者是“独立”的。

若试验只有两个结果且每次试验中两者的概率都固定不变,重复n次该试验,称这种试验为“n重伯努利试验”。在其中,试验的某一种结果发生k次的概率为\(C_n^k p^k (1-p)^{n-k} (k=0,1,\cdots,n)\)。

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