我在许多书本上看到冒泡排序的最佳时间复杂度是O(n)，即是在序列本来就是正序的情况下。
但我一直不明白这是怎么算出来的，因此通过阅读《算法导论-第2版》的2.2节，使用对插入排序最佳时间复杂度推算的方法，来计算冒泡排序的复杂度。
1. 《算法导论》2.2中对插入排序最佳时间复杂度的推算
在最好情况下，6和7总不被执行，5每次只被执行1次。因此，
时间复杂度为O(n)
2. 冒泡排序的时间复杂度
2.1 排序代码
public void bubbleSort(int arr[]) { for(int i = 0, len = arr.length; i < len - 1; i++) { for(int j = 0; j < len - i - 1; j++) { if(arr[j + 1] < arr[j]) swap(arr, j, j + 1); } } }
2.2 最佳情况
序列原本就是正序
2.3 最佳情况时间复杂度推算
| 语句 | cost | times |
|
i = 0, len = arr.length |
c1 | 1 |
| i < len - 1 | c2 | n |
| i++ | c3 | n - 1 |
| j = 0 | c4 | n - 1 |
| j < len - i - 1 | c5 | t(i=0) + t(i=1) + ... + t(i = n-2) |
| j++ | c6 | t2(i=0) + t2(i=1) + ... + t2(i = n-2) |
| arr[j + 1] < arr[j] | c7 | t3(i=0) + t3(i=1) + ... + t3(i = n-2) |
| swap(arr, j, j + 1) | c8 | t4(i=0) + t4(i=1) + ... + t4(i = n-2) |
T(n) = c1 + c2n + c3(n - 1) + c4(n - 1) + c5[t1(i=0) + t1(i=1) + ... + t1(i = n-2)] + c6[t2(i=0) + t2(i=1) + ... + t2(i = n-2)] + c7[t3(i=0) + t3(i=1) + ... + t3(i = n-2)] + c8[t4(i=0) + t4(i=1) + ... + t4(i = n-2)];
当序列原本就是正序时，8从不被执行。因此
T(n) = c1 + c2n + c3(n - 1) + c4(n - 1) + c5[t1(i=0) + t1(i=1) + ... + t1(i = n-2)] + c6[t2(i=0) + t2(i=1) + ... + t2(i = n-2)] + c7[t3(i=0) + t3(i=1) + ... + t3(i = n-2)];
此时的时间复杂度应为O(n^2)。
可是网上和许多书上都写道是O(n)，不知是否有人能帮我解答一下呢？
2.4 在*上问到答案了。
我原本的代码的时间复杂度确实应该是O(n^2)，但算法可以改进，使最佳情况时为O(n)。改进后的代码为：
public void bubbleSort(int arr[]) { boolean didSwap; for(int i = 0, len = arr.length; i < len - 1; i++) { didSwap = false; for(int j = 0; j < len - i - 1; j++) { if(arr[j + 1] < arr[j]) { swap(arr, j, j + 1); didSwap = true; } } if(didSwap == false) return; } }