设 $E\subset \bbR^n, P_0\in \bbR^n$.

1 若 $\exists\ U(P_0)\subset E$, 则称 $P_0$ 为 $E$ 的内点 (interior point);

$E$ 的全体内点所成集合称为 $E$ 的开核, 记作 $E^o$.

2 若 $\exists\ U(P_0)\subset E^c$, 则称 $P_0$ 为 $E$ 的外点 (exterior point).

3 若 $$\bex\forall\ U(P_0),\ U(P_0)\cap E\neq \vno,\ U(P_0)\cap E^c\neq \vno,\eex$$

则称 $P_0$ 为 $E$ 的界点 (boundary point);

全体界点所成集合称为 $E$ 的边界, 记作 $\p E$.

4 总结: $P_0$ 与 $E$ 的关系必有且仅有``内点、外点、界点'' 这三种.

5 我们把 $E$ 的 ``内点和界点'' 全体重做一个分类:

(1) 若 $$\bex \forall\ U(P_0),\quad U(P_0)\cap (E\bs \sed{P_0})\neq \vno, \eex$$

则称 $P_0$ 为 $E$ 的聚点 (cluster point);

$E$ 的全体聚点所成集合称为 $E$ 的导集 (derived set), 记作 $E'$;

$E\cup E'$ 称为 $E$ 的闭包 (closure), 记作 $\bar E$ 或 $E^-$

(2) 若 $$\bex \exists\ U(P_0),\st U(P_0)\cap E=\sed{P_0}, \eex$$

则称 $P_0$ 为 $E$ 的孤立点 (isolated point).

(3) 总结: $P_0$ 与 $E$ 的关系必有且仅有``聚点、孤立点、外点'' 这三种.

6 性质:

(1) 聚点的等价定义: $$\beex \bea P_0\mbox{ 是 }E\mbox{ 的聚点} &\lra \forall\ U(P_0),\ \overline{\overline{U(P_0)\cap E}}\geq a\\ &\lra \exists\ \mbox{ 互异 }P_n\in E,\st P_n\to P_0. \eea \eeex$$

(2) $\p E\subset E'\cup\sed{\mbox{孤立点}}$.

(3) 闭包的刻画: $$\bex P_0\in \bar E\lra \forall\ U(P_0), \ U(P_0)\cap E\neq \vno. \eex$$

(4) 闭包、开核的对偶关系: $$\bex E^{coc}=E^-,\quad E^{c-c}=E^o. \eex$$

证明: $$\beex \bea P_0\in E^{coc}&\lra P_0\not\in E^{co}\\ &\lra \forall\ U(P_0),\ U(P_0)\not\subset E^c\\ &\lra \forall\ U(P_0),\ U(P_0)\cap E\neq \vno\\ &\lra P_0\in E^-. \eea \eeex$$

(5) $A\subset B\ra A^o\subset B^o,\ A'\subset B', \ A^-\subset B^-$.

(6) $(A\cup B)'=A'\cup B'$.

证明: $\supset$ 显然;

$\subset$ 设 $P_0\in (A\cup B)'$ 且 $P_0\not\in A'$, 往证: $P_0\in B'$. 由 $$\bex \forall\ U(P_0),\ U(P_0)\cap [(A\cup B)\bs \sed{P_0}]\neq \vno,\quad U(P_0)\cap (A\bs\sed{P_0})=\vno \eex$$

知 $\dps{U(P_0)\cap (B\bs \sed{P_0})\neq \vno}$, 而 $P_0\in B'$.

7 Bolzano-Weierstrass 定理: 设 $\vno\neq E$ 有界, 则 $E'\neq\vno$.

8 设 $E\neq \vno$, $E\neq \bbR^n$, 则 $\p E\neq \vno$.

证明: 取 $P_0\in E, Q_0\in E^c$, 则用反证法易得  $$\bex  R_0=\sup\sed{R=(1-t)P_0+tQ_0;0\leq t\leq 1}\in \p E.  \eex$$

9 作业: Page 51 T 3.