题目
给定一个二叉搜索树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。
百度百科中最近公共祖先的定义为：“对于有根树 T 的两个结点 p、q，最近公共祖先表示为一个结点 x，满足 x 是 p、q 的祖先且 x 的深度尽可能大（一个节点也可以是它自己的祖先）。”
例如，给定如下二叉搜索树: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5]
解题思路
来源：作者：jyd
链接：https://leetcode-cn.com/problems/er-cha-sou-suo-shu-de-zui-jin-gong-gong-zu-xian-lcof/solution/mian-shi-ti-68-i-er-cha-sou-suo-shu-de-zui-jin-g-7/
来源：力扣（LeetCode）
祖先的定义： 若节点 p 在节点 root 的左（右）子树中，或 p = root ，则称 root 是 p 的祖先。
最近公共祖先的定义： 设节点 root 为节点 p,q 的某公共祖先，若其左子节点 root.left 和右子节点 root.right 都不是 p,q 的公共祖先，则称 root 是 “最近的公共祖先” 。
根据以上定义，若 root 是 p,q 的 最近公共祖先 ，则只可能为以下情况之一：
- p 和 q 在 root 的子树中，且分列 root 的 异侧（即分别在左、右子树中）；
- p = root ，且 q 在 root 的左或右子树中；
- q = root ，且 p 在 root 的左或右子树中；
本题给定了两个重要条件：① 树为 二叉搜索树 ，② 树的所有节点的值都是 唯一 的。根据以上条件，可方便地判断 p,q 与 root 的子树关系，即：
若 root.val < p.val ，则 p 在 root 右子树 中；
若 root.val > p.val ，则 p 在 root 左子树 中；
若 root.val = p.val ，则 p 和 root 指向 同一节点 。
方法一：迭代
- 循环搜索： 当节点 root 为空时跳出；
当 p, q 都在 root 的 右子树 中，则遍历至 root.right ；
否则，当 p, q 都在 root 的 左子树 中，则遍历至 root.left；
否则，说明找到了 最近公共祖先 ，跳出。 - 返回值： 最近公共祖先 root 。
复杂度分析：
时间复杂度 O(N) ： 其中 N 为二叉树节点数；每循环一轮排除一层，二叉搜索树的层数最小为 log(N+1) （满二叉树），最大为 N（退化为链表）。
空间复杂度 O(1) ： 使用常数大小的额外空间。
class Solution {
public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
while(root != null) {
if(root.val < p.val && root.val < q.val) // p,q 都在 root 的右子树中
root = root.right; // 遍历至右子节点
else if(root.val > p.val && root.val > q.val) // p,q 都在 root 的左子树中
root = root.left; // 遍历至左子节点
else break;
}
return root;
}
}
优化：若可保证 p.val < q.val ，则在循环中可减少判断条件。
class Solution {
public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
if(p.val > q.val) { // 保证 p.val < q.val
TreeNode tmp = p;
p = q;
q = tmp;
}
while(root != null) {
if(root.val < p.val) // p,q 都在 root 的右子树中
root = root.right; // 遍历至右子节点
else if(root.val > q.val) // p,q 都在 root 的左子树中
root = root.left; // 遍历至左子节点
else break;
}
return root;
}
}
方法二：递归
- 递推工作：
当 p, q 都在 root 的 右子树 中，则开启递归 root.right 并返回；
否则，当 p, q 都在 root 的 左子树 中，则开启递归 root.left 并返回； - 返回值： 最近公共祖先 root 。
复杂度分析：
时间复杂度 O(N) ： 其中 N 为二叉树节点数；每循环一轮排除一层，二叉搜索树的层数最小为 log(N+1)（满二叉树），最大为 N （退化为链表）。
空间复杂度 O(N) ： 最差情况下，即树退化为链表时，递归深度达到树的层数 N 。
class Solution {
public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
if(root.val < p.val && root.val < q.val)
return lowestCommonAncestor(root.right, p, q);
if(root.val > p.val && root.val > q.val)
return lowestCommonAncestor(root.left, p, q);
return root;
}
}