• \(\text{P4551}\) 最长异或路径

  • 算法：\(\text{trie}\)

题目：

给你一棵带边权的树，求 \((u,v)\) 使得 \(u\) 到 \(v\) 的路径上的边权异或和最大，输出这个最大值。

点数不超过 \(10^5\)，边权在 \([0,2^{31})\) 内。

题解：

设 \(f(u,v)\) 为 \(u\) 到 \(v\) 的路径上的边权异或和的值。

那么对于求出每一组 \((u,v)\) 求出 \(f(u,v)\) 效率低下。

考虑对于树的一个指定根 \(rt\)，可以通过 \(rt\) 来得到 \(f(u,v)\)。

具体地说，就是考虑 \(f(u,v)=f(u,rt) \oplus f(rt,v)\)，由于 \(lca(u,v)\) 以上至根的部分重复，所以重复部分异或值为 \(0\)，那么此式子成立。

所以对于一点 \(u\)，考虑算出所以的 \(f(rt,u)\)。

但是这样复杂度仍为 \(O(n^2)\)。瓶颈在于每次都要计算 \(dis(u,rt)\)。

所以考虑将 \(f(u,rt)\) 插入一棵 trie 中，所以就可以更快地求出 \(f(u,rt)\)。

考虑用一个贪心：对于每个数转为其二进制数，从高位比较，进行异或，若异或值大显然值也大，所以顺此路线往下走。