一般而言，我们需要对输入进行归一化，保证输入的特征在都分布在0-1或者-1 - +1，这样可以加快收敛，防止因某一个特征数值大造成的模型过拟合或欠拟合问题。

但深度学习因为模型深度深，常常会出现梯度爆炸或梯度消失问题，如果对每一层输入都进行特征的归一化，可以有效地解决这个问题。

BatchNormalization，即批归一化，因为在模型训练时，常常采用mini_batch 的梯度下降，所以我们的归一化在数据的每个Batch 上进行。

首先看一下BatchNormalization的公式

以上公式可拆为两部分

上面这个公式已经实行了归一化，其中下标i代表的时第i个特征，归一化是要数据的每一个特征都服从均值为0，方差为1的正态分布，平均值和方差的计算都是基于多条数据的，

所以当batch_size 为1 的时候，无法做归一化，当输入的数据是图片时，特征表现为各个通道。

为什么要让数据各个特征服从均值为0，方差为1的正态分布呢，以sigmoid 激活函数为例，如果数据分布在-1到1 之间，在反向传播时，会有较大的梯度，可以加快收敛。

但是存在一个问题，数据分布在-1到1 之间，正向传播时，激活函数处在线性区间内，降低了模型的表达能力。因为多个线性变换的叠加相当与一个线性变换。

所以BatchNormalization还包括下面这一部分，其中γ 和 β是可学习的参数

这样可以把分布微调，偏离正态分布，即保证模型处在非线性区域又能保证反向传播的梯度。

关于BatchNormalization的参数个数，对于每一个特征都有一个γ 和 β，所以总的参数个数为2倍的特征数，

如果输入的通道数为256，所以BatchNormalization的参数个数为 512.

BatchNormalization 的实现

def batchnorm_forward(x, gamma, beta, bn_param):
    mode = bn_param['mode']
    eps = bn_param.get('eps', 1e-5)
    momentum = bn_param.get('momentum', 0.9)
    N, D = x.shape

    running_mean = bn_param.get('running_mean', np.zeros(D, dtype=x.dtype))   #D个平均值
    running_var = bn_param.get('running_var', np.zeros(D, dtype=x.dtype))     #D个方差值

    out, cache = None, None

    if mode == 'train':
        sample_mean = np.mean(x, axis=0, keepdims=True)
        sample_var = np.var(x, axis=0, keepdims=True)
        x_normalized = (x - sample_mean) / np.sqrt(sample_var + eps)

        out = gamma * x_normalized + beta
        # gamma = np.ones((1, D))   每个特征一个gamma， 共D个
        # beta = np.zeros((1, D))   每个特征一个beta， 共D个
        cache = (x_normalized, gamma, beta, sample_mean, sample_var, x, eps)
        # mean值更新 ， 指数加权平均
        running_mean = momentum * running_mean + (1 - momentum) * sample_mean
        # var值更新 ， 指数加权平均
        running_var = momentum * running_var + (1 - momentum) * sample_var

    elif mode == 'test':
        x_normalized = (x - running_mean) / np.sqrt(running_var + eps)
        out = gamma * x_normalized + beta

    else:
        raise ValueError("Invalid forward batchnorm mode %s" %mode)

    bn_param['runing_mean'] = running_mean   # mean值更新 ， 用于预测
    bn_param['running_var'] = running_var    # var值更新 ， 用于预测

    return out, cache