采用栈数据结构的二叉树非递归遍历

2021-10-20 13:53:57

　　【前言】树的遍历，根据访问自身和其子节点之间的顺序关系，分为前序，后序遍历。对于二叉树，每个节点至多有两个子节点（特别的称为左，右子节点），又有中序遍历。由于树自身具有的递归性，这些遍历函数使用递归函数很容易实现，代码也非常简洁。借助于数据结构中的栈，可以把树遍历的递归函数改写为非递归函数。

　　在这里我思考的问题是，很显然，循环可以改写为递归函数。递归函数是否借助栈这种数据结构改写为循环呢。因为函数调用中，call procedure stack 中存储了流程的 context，调用和返回相当于根据调用栈中的 context 进行跳转。而采用 stack 数据结构时，主要还是一个顺序循环结构，主要通过 continue 实现流程控制。

　　首先，给出遍历二叉树的序的定义：

　　（1）前序遍历：当前节点，左子节点，右子节点；

　　（2）中序遍历：左子节点，当前节点，右子节点；

　　（3）后序遍历：左子节点，右子节点，当前节点。

　　对二叉查找树 BST 来说，中序遍历的输出，是排序结果。所以这里我以一个 BST 的中序遍历为主要例子说明问题。一个简单的 BST 如下图所示（为了保证美观精确，下图由我临时编写的一个 VC 窗口程序绘制为样本进行加工得到的）：

　　其中序遍历的输出为：1,2,3,4,5,6,7,8,9；

　　首先给出中序遍历的递归函数，代码如下：

 1 typedef struct tagNODE
 2 {
 3     int nVal;
 4     int bVisited; //是否被访问过
 5     struct tagNODE *pLeft;
 6     struct tagNODE *pRight;
 7 } NODE, *LPNODE;
 8 
 9 //中序遍历二叉树（递归版本）
10 void Travel_Recursive(LPNODE pNode)
11 {
12     if(pNode != NULL)
13     {
14         Travel_Recursive(pNode->pLeft);
15         _tprintf(_T("%ld, "), pNode->nVal);
16         Travel_Recursive(pNode->pRight);
17     }
18 }

　　很明显，对应于前面给出的定义，只需要调整上述代码中行号为 14,15,16 的顺序，就可以得到相应的遍历序。

　　现在，引入栈数据结构，它是一个元素为节点指针的数组，将上面的递归函数改写为非递归函数。中序遍历的基本方法是：

　　（1）将根节点 push 入栈；

　　（2）当栈不为空时，重复（3）到（5）的操作：

　　（3）偷窥栈顶部节点，如果节点的左子节点不为 NULL，且没有被访问，则将其左子节点 push 入栈，并跳到（3）。

　　（4）当被偷窥的节点没有左子树，pop 该节点出栈，并访问它（同时标记该节点为已访问状态）。

　　（5）当该节点的右子节点不为空，将其右子节点 push 入栈，并跳到（3）。

　　根据以上方法，给出非递归函数的中序遍历版本代码如下：

 1 typedef struct tagNODE
 2 {
 3     int nVal;
 4     int bVisited; //是否被访问过
 5     struct tagNODE *pLeft;
 6     struct tagNODE *pRight;
 7 } NODE, *LPNODE;
 8 
 9 //辅助数据结构
10 LPNODE g_Stack[256];
11 int g_nTop;
12 
13 //遍历二叉树，借助于stack数据结构的非递归版本
14 void TravelTree()
15 {
16     //while the stack is not empty
17     while(g_nTop >= 0)
18     {
19         //peek the top node in stack;
20         LPNODE pNode = g_Stack[g_nTop];
21 
22         //push left child;
23         if(pNode->pLeft != NULL && !pNode->pLeft->bVisited)
24         {
25             ++g_nTop;
26             g_Stack[g_nTop] = pNode->pLeft;
27             continue;
28         }
29 
30         //pop and visit it;
31         _tprintf(_T("%ld, "), pNode->nVal);
32         pNode->bVisited = 1;
33         --g_nTop; 
34 
35         //push right child;
36         if(pNode->pRight != NULL && !pNode->pRight->bVisited)
37         {
38             ++g_nTop;
39             g_Stack[g_nTop] = pNode->pRight;
40             continue;
41         }       
42     }
43 }

　　以前面的 BST 为例，在非递归函数中，栈状态的动态变化如下图所示（下图主要由 Excel 和 Photoshop 制作）：

　　在上面的代码的 while 循环体内，可以分为三个小的代码块：

　　（1）pop 栈顶的节点，并访问此节点（line 30 ~ 33）；

　　（2）push 左子节点（line 22 ~ 28）；

　　（3）push 右子节点（line 35 ~ 41）；

　　只要调整 while 循环体中的这三个代码块的顺序，就可以分别实现三种遍历序。例如，前序：（1）（2）（3）；后序：（2）（3）（1）。

　　从上面的代码中，有两点需要说明：

　　（1）最后一个代码块中的 continue 可以不需要写，但为了可以调整代码块的顺序，两个 continue 都是需要的。

　　（2）因为前序遍历的逻辑的简洁性，不借助于 bVisited 标记，也可以完成遍历，但为了通用，还是需要这个节点标记。

　　最后，补充上其他并不重要的方法，创建树，释放树，main 函数的代码如下（把已有所有代码拼在一起即构成完整的 Demo 程序）：

//左右 Child 定义
#define LCHILD        0
#define RCHILD        1

typedef struct tagNODE
{
    int nVal;
    int bVisited; //是否被访问过
    struct tagNODE *pLeft;
    struct tagNODE *pRight;
} NODE, *LPNODE;

LPNODE g_Stack[256];
int g_nTop;

LPNODE InsertNode(LPNODE pParent, int nWhichChild, int val)
{
    LPNODE pNode = (LPNODE)malloc(sizeof(NODE));
    memset(pNode, 0, sizeof(NODE));
    pNode->nVal = val;

    if(pParent != NULL)
    {
        if(nWhichChild == LCHILD)
            pParent->pLeft = pNode;
        else
            pParent->pRight = pNode;
    }
    return pNode;
}

//递归释放二叉树的内存
void FreeTree(LPNODE pRoot)
{
    if(pRoot != NULL)
    {
        FreeTree(pRoot->pLeft);
        FreeTree(pRoot->pRight);
        //_tprintf(_T("freeing Node (%ld) ...\n"), pRoot->nVal);
        free(pRoot);
    }
}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    //索引为 0 的元素不使用。
    LPNODE pNodes[10] = { 0 };

    pNodes[1] = InsertNode(pNodes[0], LCHILD, 7);
    pNodes[2] = InsertNode(pNodes[1], LCHILD, 4);
    pNodes[3] = InsertNode(pNodes[1], RCHILD, 9);
    pNodes[4] = InsertNode(pNodes[2], LCHILD, 2);
    pNodes[5] = InsertNode(pNodes[2], RCHILD, 6);
    pNodes[6] = InsertNode(pNodes[3], LCHILD, 8);
    pNodes[7] = InsertNode(pNodes[4], LCHILD, 1);
    pNodes[8] = InsertNode(pNodes[4], RCHILD, 3);
    pNodes[9] = InsertNode(pNodes[5], LCHILD, 5);

    //push 根节点
    g_nTop = 0;
    g_Stack[g_nTop] = pNodes[1];

    TravelTree();
    _tprintf(_T("\n"));

    Travel_Recursive(pNodes[1]);
    _tprintf(_T("\n"));

    FreeTree(pNodes[1]);
    return 0;
}

View Code

　　可以看到，释放树（FreeTree）这个函数，就是按照后序遍历的顺序进行释放的。

　　【补充】和本文相关的我写的其他博客文章：

　　（1）采用路径模型实现遍历二叉树的方法。2013-5-18；

　　（2）[非原创]树和图的遍历。2008-8-10；

　　【后记】

　　献给曾经向我请教“采用非递归方法遍历树”的小玉（littlehead）学妹。

码农公寓

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