——这是一个很重要的定理，虽然在实际判断二次剩余时不会使用这种方法，但是在证明二次互反律中有核心地位

阅读之前，你应该知道：二次剩余，勒让德符号，整除的基本知识，剩余系的概念

我们先看看定理说什么（定理描述和下述运算均在最小绝对值剩余系下）

假设p是一个奇素数，数组A={1，2，....，（p-1)/2}

现在我们想判断一个数a(模p非0)是否为模p的二次剩余

我们计算Aa={1a,2a,......(p-1)a/2}

在Aa中，如果小于0的个数有奇数个，那么a就不是二次剩余，如果有偶数个，a就是二次剩余（注意是在最小绝对值剩余系下）

想必你看到这里已经有了一些想法

我们用fac(x)表示x的阶乘，因为用！显得太乱了,然后legendre(a,p)表示a对p的勒让德符号

对Aa求积，注意(p-1)/2个a相乘由欧拉判别条件可知就等于legendre(a,p)

所以我们得到legendre(a,p)*fac((p-1)/2)=Π(Aa)  ······················································（1）

我们再考察Aa，你会发现Aa中不可能存在0，不可能存在相等的两个数，不可能存在互为相反数的两个数    

不存在0很显然，不存在相等的两个数也很显然，我们看看不存在互为相反数的两个数，反证法

设存在ax=-ay mod p

=> p整除a(x+y)

因为x,y属于[1,(p-1)/2]

所以x+y属于[1,p-1]

故p不整除x+y,又p不整除a

因此p不整除a(x+y)，得出矛盾

证毕

既然Aa满足上述条件，那么Aa的绝对值只能取值1到(p-1)

所以Π(Aa)=fac((p-1)/2)*(-1)^(负数个数）·······························································（2）

由（1），（2）可得

legendre(a,p)=(-1)^(负数个数）

今天先写到这里，后面我们继续讨论定理的变形和二次互反律的证明。

感谢大家阅读，我不是数学专业的所以文笔可能较差，想把深奥的数学知识通俗描述，

希望对这些知识感兴趣的非专业的朋友们能够有所收获。