第二章 信息的存储和表示

信息存储

十六进制表示法

（略）

字数据大小

• 大多数计算机使用8bit的块（字节）作为最小的可寻址的内存单元
• 字长指明了指针数据的标称大小（？）
• 64位系统和32位系统向后兼容
• C语言中有些数据类型的具体大小依赖于程序的编译，C99引入int32_t和int64_t类型，指明数据的长度
• C标准对不同数据类型的数字的范围设置了下界，没有设置上界

寻址和字节顺序

• 存储规则：对象的地址是什么？在内存中如何排列这些字节？
• 地址：多字节对象的存储地址为连续字节序列的最小字节地址
• 排列方式：
  • 小端法：低字节存在低地址
  • 大端法：低字节存在高地址
  • 默认规则：书写时，地址从左往右表示从低到高，字节从左往右表示从高到低

• 关心字节顺序的场合：
  • 网络数据传输
  • 阅读字节序列
  • 规避正常的类型系统，比如强制类型转换或者联合允许一种数据类型引用一个对象
• 代码示例：按字节读取内容

//按照字节打印数据中的内容
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned char *byte_pointer;
void show_bytes(byte_pointer start, int len){
    int i;
    for(i = 0; i < len; ++i){
        printf(" %.2x", start[i]);
    }
    printf("\n");
}
void show_int(int x){
    show_bytes((byte_pointer)&x, sizeof(int));
}
int main(){
    int num;
    cin >> num;
    show_int(num);
    return 0;
}

字符串的表示

• 用ASCII码表示
• ASCII码只能表示英文字符，更一般的字符采用Unicode

代码表示

• 二进制代码不兼容，即不同系统上编译得到的二进制代码不同

布尔代数

• 运算：与、或、非
• 位向量
• 位向量表示有限集合

C语言中的位运算

• 将十六进制转换为二进制执行二进制运算，然后将结果转换为十六进制

C语言中的逻辑运算

• 0表示false，非0表示true
• 与位运算的不同：
  • 位运算的参数是0或1
  • 逻辑运算有短路原则

C语言中的移位运算

\([x_{\omega - 1}, x_{\omega - 2}, ..., x_0]\)

• 左移：高位舍弃，低位补0 $ [x_{\omega - 1 - k}, x_{\omega - 2 - k}, ... x_0, \underbrace{0, \cdots, 0}_{k个}]$
• 右移：
  • 算数右移：补符号位 \([\underbrace{x_{\omega - 1}, ..., x_{\omega -1}}_{k个}, x_{\omega -1}, x_{\omega - 2}, ..., x_k]\)
  • 逻辑右移：补0 \([\underbrace{0, ..., 0}_{k个}, x_{\omega - 1}, ..., x_k]\)

整数的表示

整型数据类型

• 典型实现中，负数比正数多1个
• C语言标准中规定（1）固定了数据大小（2）正数和负数对称

数据编码

假设整型数据类型有\(\omega\)位，将其表示记作位向量\(\vec x = [x_{\omega - 1}, x_{\omega - 2}, \cdots, x_0]\)

无符号数编码

• 定义：

\[ B2U_{\omega}(\vec x)=\sum_{i=0}^{\omega - 1} x_i 2 ^ i \]

• 范围：\(Umax = \sum\limits_{i = 0}^{\omega - 1} 2 ^ i = 2 ^\omega -1\)

• 示例：

• 定理：\(B2U_\omega(\vec x)\)是一个双射

补码表示

• 定义：
  \[ B2T_{\omega}(\vec x) = -x_{\omega - 1}2^{\omega - 1} + \sum_{i = 0}^{\omega - 2}x_i 2 ^i【注】补码表示中，最高位被理解为负权 \]
  【注】补码表示中，最高位被理解为负权

• 范围：\(Tmin = -2^{\omega - 1}, Tmax = \sum\limits_{i = 0} ^ {\omega - 2}2 ^ i = 2 ^{\omega - 1} - 1\)

• 示例：

  

• 定理：\(B2T_\omega(\vec x)\)是一个双射

【注】

• 补码的范围中：\(\vert Tmin\vert = \vert Tmax\vert + 1\)

• 补码和无符号数：\(Umax = 2Tmax + 1\)

• 所有机器都将有符号数表示为补码，尽管C语言标准没有明确规定

反码表示

• 定义：
  \[ B2O_{\omega}(\vec x) = -x_{\omega - 1}(2^{\omega - 1} - 1) + \sum_{i = 0}^{\omega - 2}x_i2^i \]

原码表示

• 定义：

\[ B2S_\omega(\vec x) = (-1)^{x_{\omega - 1}}\times \sum_{i = 0}^{\omega - 2}x_i2^i \]

有符号数和无符号数之间的转换

• C语言强制类型转换：不改变位级表示，只改变位的解释方式

补码转无符号数

• 补码转为无符号数：
  \[ T2U_\omega(x) = \begin{cases} x + 2 ^\omega & x < 0，\x & x \geq 0 \end{cases} \]

• 推导：

\[ \begin{align} B2U_\omega (\vec x) - B2T_\omega(\vec x) &= x_{\omega - 1}2^\omega \Longrightarrow B2U_\omega(\vec x) = x_{\omega - 1}2^\omega + B2T_\omega(\vec x)\T2U_\omega(x) &= B2U_\omega(T2B_\omega(x)) \&= x_{\omega -1}2^\omega + B2T_{\omega}(T2B_\omega)(x)\&= x_{\omega- 1}2^\omega + x \end{align} \]

• 理解：将补码中最高位解释为负权变为解释为正权，将补码看做无符号数时，正数不变，负数变为一个更大的数
• 示例：
  

无符号数转补码

• 转换：

\[ U2T_{\omega}(x) = \begin{cases} u & u \leq Tmax_\omega \u - 2 ^ \omega & u > Tmax_\omega \end{cases} \]

• 推导（同补码转无符号数）

总结

C语言中的有符号数和无符号数的转换

• C语言中默认数字都是有符号
• 声明一个无符号常量需要在数字后面缀上‘U’
• 一个运算中同时出现有符号数和无符号数时，会被隐式转换为无符号数

扩展数字的位表示

无符号数的0扩展

• \(u_\omega = [u_{\omega -1}, \cdots, u_0]\longrightarrow u'_{\omega + k} = [\underbrace{0, \cdots, 0}_{k个}, u_{\omega -1}, \cdots, u_0]\)

补码的符号扩展

• 定义

\[ x_\omega = [x_{\omega - 1}, \cdots, x_0]\longrightarrow x'_{\omega + k} = [\underbrace{x_{\omega-1}, \cdots, x_{\omega - 1}}_{k个}, x_{\omega - 1}, \cdots, x_0] \]

• 推导
  \[ \begin{align} B2T_{\omega + 1}(\vec x') &= -x_{\omega -1}2^\omega + \sum_{i = 0}^{\omega - 1}x_i2^i\&= -x_{\omega - 1}2^\omega + x_{\omega -1}2^{\omega - 1} + \sum_{i=0}^{\omega - 2}x_i 2^i\&= -x_{\omega - 1}2^{\omega -1}+\sum_{i=0}^{\omega - 2}x_i 2^i\&= B2T_\omega(\vec x) \end{align} \]

截断数字的位表示

无符号数的截断

• 定理

\[ \vec x = [x_{\omega -1 }, \cdots, x_0], \vec x' = [x_{k-1}, \cdots, x_0]\x' = x \mod 2^k \]

• 推导：截断的部分对应的位权为\(2^{k}, \cdots, 2^\omega\)

补码的截断

• 定理

\[ \vec x = [x_{\omega -1 }, \cdots, x_0], \vec x' = [x_{k-1}, \cdots, x_0]\x' = U2T_k(x\mod 2^k) \]

• 推导：以无符号数为中介

整数的运算

无符号数加法

• 定义运算\(+_\omega^u\)，将无符号数\(x, y\)相加后截断\(\omega\)位，可以视作是一种模运算
• 无符号数加法：

对于满足\(0\leq x, y < 2^\omega\)，有：
\[ x+_\omega^u y = \begin{cases} x + y & x + y < 2 ^ \omega \x + y - 2 ^ \omega & x + y \geq 2 ^\omega \end{cases} \]

• 溢出判断：对于\(s = x+_\omega^uy\)，当且仅当\(s < x\quad or\quad s < y\)时发生溢出
• 无符号数求反：模数加法形成了一个阿贝尔群，定义\(x\)的反为：

\[ -_\omega^u x = \begin{cases} x & x = 0\2^\omega - x & x > 0 \end{cases} \]

补码加法

• 定义运算\(+_\omega^t\)，将有符号数\(x, y\)相加后截断\(\omega\)位，可以视作是一种模运算
• 补码加法：

\[ x+_\omega^t y=\begin{cases} x+y-2^\omega & 2 ^{\omega - 1} \leq x + y\x+y & -2^{\omega -1 } \leq x + y < 2 ^{\omega -1}\x+y+2^\omega &x + y < -2^{\omega -1} \end{cases} \]

【注】还是来源于截断，当没有溢出时，不发生截断；溢出的情况只会是“正+正”或者“负+负”；“正+正”溢出时，符号位为0，数字部分的最高位变为1（进位导致增加的数字），截断后原有的符号位会被丢弃，符号位变为1，真实的值为\(x+y=2^{\omega -1} + \sum\limits_{i=0}^{\omega -2}x_i2^i\)，截断后的值为\(x+_\omega^t y- = 2^{\omega -1} + \sum\limits_{i=0}^{\omega -2}x_i2^i\)，因此\(x+_\omega^t y = x + y - 2^\omega\)；负溢出解释相似。

• 推导：

有符号和无符号具有相同的位级表示，因此先将参数转换为无符号数，然后按照无符号数运算，最后将结果转换为补码
\[ \begin{align} x+_\omega^u y &= U2T_\omega(T2U_\omega(x) + T2U_\omega(y))\&= U2T_\omega((x_{\omega-1}2^\omega + y_{\omega - 1}2^\omega+x+y)\mod 2^\omega)\&= U2T_\omega((x+y)\mod 2^\omega) \end{align} \]
记\(z=x+y, z' = z\mod 2^\omega, z'' = U2T_\omega(z')\)

若\(-2^{\omega}\leq z < -2^{\omega-1}\)，则\(z'=z+2^\omega\)，因此\(0\leq z' < 2^{\omega -1}\)，故\(z''=z'\)

其余三种情况以此类推

• 补码加法溢出判断：“正+正=负”或者“负+负=正”

补码的非

• 定义：对于满足\(Tmin\leq x \leq Tmax\)的\(x\)

\[ -_\omega^tx=\begin{cases} Tmin &x = Tmin\-x & x>Tmin \end{cases} \]

• 根据位级表示计算补码的非：
  • 各位取反再加1：-5=[1011], [0100] + [0001] = [0101] = 5
  • 将符号位（包含符号位）与最后一个1之间的位取反：5=[0101], [1011] = -5

无符号乘法

• 定义：\(x*_\omega^uy=(xy)\mod 2^\omega\)

补码乘法

• 定义：\(x*_\omega^t y=U2T_\omega({(xy)\mod 2^\omega})\)
• 无符号和补码乘法的位级等价性

给定长度为\(\omega\)的位向量\(\vec x, \vec y\)，用补码形式定义的整数为\(x, y\)，用无符号定义的整数为\(x', y'\)，则：
\[ T2B_\omega(x*_\omega^t y) = U2B_\omega(x'*_\omega^u y') \]

证明
\[ \begin{align} (x'*y')\mod 2^\omega &= ((x_{\omega -1}2^\omega+x) \cdot (y_{\omega -1}2^\omega + y))\mod 2^\omega\&= (xy)\mod 2^\omega\T2U_\omega(x*_\omega^t y)&=T2U_\omega(U2T_\omega((x\cdot y)\mod 2^\omega))\&= x\cdot y \mod 2^\omega\T2B_\omega(x*_\omega^t y)&=U2B_\omega(T2U_\omega(x*_\omega^t y))\&=U2B_\omega((x\cdot y)\mod 2^\omega) \end{align} \]

乘常数

• 乘2的幂：\(x\cdot 2^k = x << k\)
• 乘以常数K：将常数K分解为{0，1}序列，然后通过移位和加法
• 计算\(x\cdot K\)
  • 分解K：\(K = [(0...0)(1...1)(0...0)...(1...1)]\)
  • 计算：考虑从\(n\)位到\(m\)位（\(n \geq m\)）为连续的1，有两种计算方案：
    • \((x<<n) + (x <<(n-1))+...+(x<<m)\)
    • \((x<<(n+1)) - (x<<m)\)

除以2的幂

• 对于无符号数，\(x>>k\)产生数值\(\lfloor x/2^k\rfloor\)

• 对于有符号数

  \(x>0\)时同无符号数

  \(x<0\)时，\(x>>k\)产生数值\(\lfloor x/2^k\rfloor\)，\((x+(1<<k) - 1)>>k\)产生数值\(\lceil x/2^k\rceil\)

• 偏置的设计：

  注意到$\lceil x/y\rceil = \lfloor (x+y-1)/y\rfloor \(，设\)x = qy+r\(，因此\)\lfloor (x+y-1)/y\rfloor=q+\lfloor(r+y-1)/y\rfloor\(，当\)r\(为0时，后面一项为0，当\)r>0\(时后面为1。取\)y=2^k$，即可得到带偏置的除法公式

【读书笔记】CSAPP ch2