Max Sum(动态规划)

原创


http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1003

Max Sum(动态规划)

  题目要求求出一个序列里面的最大序列和,序列要求是连续的,给出最大序列和,序列首元素下标和尾元素下标,按特定的格式输出。

  解题思路:

    动态规划,我们可以将所有序列按以序列中的元素a[i](i=1~n)结尾进行分类,比如:

    以a[1]结尾的序列有:a[1]

    以a[2]结尾的序列有:a[1]a[2],a[2]

    以a[3]结尾的序列有:a[1]a[2]a[3],a[2][3],a[3]

    ...... 

    这样所有序列都会包含在其中,一共被分为n大组,每大组里面包含许多小序列,从每大组里面选出最大的序列和,这样会选出n个

    序列和,再从n个序列和中选出最大的就是题目要求的最大序列和了。

    动态规划公式演算:

    之前说过有n大组,用dp[]存储从每大组中选出来的最大序列和,其中

    dp[1]=a[1]

    dp[2]=max(a[1]a[2],a[2]),即从两个序列里面选出序列和最大的,既然只需要比较序列和,两个数比较大小,两个数同时减去一

    个相同的数不影响比较,那么两个序列都先把元素a[2]减去,这样就成了dp[2]=max(dp[1]+a[2],a[2])。

    dp[3]=max(a[1]a[2]a[3],a[2][3],a[3]),写成max(a[1]a[2]+a[3],a[2]+[3],0+a[3])更容易理解动态规划思想,3个序列都先把

    a[3]提出变成max(a[1]a[2],a[2],0),再变成max(max(a[1]a[2],a[2]),0),三个数比较,可以先比较其中2个,再和第三个比较,

    可以发max(a[1]a[2],a[2])就是dp[2],所以max(a[1]a[2],a[2],0)就是max(dp[2],0),加回a[3],max(dp[2]+a[3],a[3])。

    所以我们可以轻而易举的按顺序求出n大组的序列和,然后再从n个序列和中求出最大的。

    关于求最大序列和的首尾元素索引:

    我们在求某个dp[i]的时候,代表目前是从以a[i]结尾的序列和中求出序列和最大的存入dp[i]中,所以尾元素可以得知。

    尾元素得到,可以往回找到首元素。

Java AC

 import java.util.*;

 public class Main {

     public static void main(String[] args) {
Scanner reader=new Scanner(System.in);
int T=reader.nextInt();
int count=1;
while(T>0) {
int N=reader.nextInt();
int a[]=new int[N+1];
for(int i=1;i<=N;i++) {
a[i]=reader.nextInt();
}
int dp=a[1];
int sum_Max=dp;
int start=1;
int end=1;
for(int i=2;i<=N;i++) {
dp=dp+a[i]>a[i]?(dp+a[i]):a[i]; //动态存储以a[1]~a[n]结尾的序列组的最大序列和
if(dp>sum_Max) {
sum_Max=dp;
end=i; //结尾索引
}
}
//寻找开头索引
int sum=0;
for(int i=end;i>=1;i--) {
sum+=a[i];
if(sum==sum_Max) {
start=i;
//这里不能break,当序列中存在多个序列具有同样的最大序列和,题目要求输出第一个被找到的序列
}
}
System.out.println("Case "+count+":");
System.out.println(sum_Max+" "+start+" "+end);
if(T!=1) {
System.out.println();
}
T--;
count++;
}
} }

21:21:39

2018-08-19

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