位运算基础

&
按位与
如果两个相应的二进制位都为1，则该位的结果值为1，否则为0

|
按位或
两个相应的二进制位中只要有一个为1，该位的结果值为1

^
按位异或
若参加运算的两个二进制位值相同则为0，否则为1

~
取反
~是一元运算符，用来对一个二进制数按位取反，即将0变1，将1

<<
左移
用来将一个数的各二进制位全部左移N位，右补0

>>
右移
将一个数的各二进制位右移N位，移到右端的低位被舍弃，对于无符号数， 高位补0

技巧

1. 消去最后一个 1

X = X & (X-1)

x & (x-1)
x = 1100
x-1 = 1011
x & (x-1) = 1000

1.1.应用一 用O(1)时间检测整数n是否是2的幂次.

思路解析：N如果是2的幂次，则N满足两个条件。
1.N>0
2.N的二进制表示中只有一个1
一位N的二进制表示中只有一个1，所以使用N&(N-1)将唯一的一个1消去。
如果N是2的幂次，那么N&(N-1)得到结果为0，即可判断。

1.2.应用二 计算在一个 32 位的整数的二进制表示中有多少个 1.

思路解析：
由 x & (x-1) 消去x最后一位知。循环使用x & (x-1)消去最后一位1，计算总共消去了多少次即可。

1.3.将整数A转换为B，需要改变多少个bit位

思路解析
这个应用是上面一个应用的拓展。
思考将整数A转换为B，如果A和B在第i（0<=i<32）个位上相等，则不需要改变这个BIT位，如果在第i位上不相等，则需要改变这个BIT位。所以问题转化为了A和B有多少个BIT位不相同。联想到位运算有一个异或操作，相同为0，相异为1，所以问题转变成了计算A异或B之后这个数中1的个数。

2.使用二进制进行子集枚举

应用.给定一个含不同整数的集合，返回其所有的子集

样例
如果 S = [1,2,3]，有如下的解：
[ [3], [1], [2], [1,2,3], [1,3], [2,3], [1,2] ]

思路
思路就是使用一个正整数二进制表示的第i位是1还是0，代表集合的第i个数取或者不取。所以从0到2n-1总共2n个整数，正好对应集合的2^n个子集。

S = {1,2,3}
N bit Combination
0 000 {}
1 001 {1}
2 010 {2}
3 011 {1,2}
4 100 {3}
5 101 {1,3}
6 110 {2,3}
7 111 {1,2,3}

3. a^b^b=a

3.1.应用一 数组中，只有一个数出现一次，剩下都出现三次，找出出现一次的。

问题

Given [1,2,2,1,3,4,3], return 4

解题思路

因为只有一个数恰好出现一个，剩下的都出现过两次，所以只要将所有的数异或起来，就可以得到唯一的那个数。

C语言解题代码

#include<stdio.h>
int main()
{
    int a[7]={1,2,2,1,3,4,3};
    int ans=0;
    for(int i=0;i<7;i++){
        ans^=a[i];
    }
    printf("%d\n",ans);
}

3.2.应用二 数组中，只有一个数出现一次，剩下都出现三次，找出出现一次的。

问题
Given [1,1,2,3,3,3,2,2,4,1] return 4

解题思路
因为数是出现三次的，也就是说，对于每一个二进制位，如果只出现一次的数在该二进制位为1，那么这个二进制位在全部数字中出现次数无法被3整除。
模3运算只有三种状态：00,01,10，因此我们可以使用两个位来表示当前位%3，对于每一位，我们让Two，One表示当前位的状态，B表示输入数字的对应位，Two+和One+表示输出状态。

 0 0 0 0 0
 0 0 1 0 1
 0 1 0 0 1
 0 1 1 1 0
 1 0 0 1 0
 1 0 1 0 0
 One+ = (One ^ B) & (~Two)
 Two+ = (~One+) & (Two ^ B)

#include<stdio.h>

void findNum(int *a,int n)
{
    int ans=0;
    int bits[32]={0};
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<32;j++){
            bits[j]+=((a[i]>>j)&1);
        }
    }
    for(int i=0;i<32;i++){
        if(bits[i]%3==1) ans+=1<<i;
    }
    printf("%d\n",ans);
}
int main()
{
    int a[10]={1,1,2,3,3,3,2,2,4,1};
    findNum(a,10);
}

3.3.应用三  数组中，只有两个数出现一次，剩下都出现两次，找出出现一次的

问题
Given [1,2,2,3,4,4,5,3] return 1 and 5

解题思路
有了第一题的基本的思路，我们不妨假设出现一个的两个元素是x，y，那么最终所有的元素异或的结果就是res = x^y。并且res！=0，那么我们可以找出res二进制表示中的某一位是1，那么这一位1对于这两个数x,y只有一个数的该位置是1。对于原来的数组，我们可以根据这个位置是不是1就可以将数组分成两个部分。求出x,y其中一个，我们就能求出两个了。

#include<stdio.h>

void findNum(int *a,int n)
{
    int diff=0;
    int x=0,y=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
            diff^=a[i];
    }
    diff&=-diff;//取diff的最后一位1的位置
    for(int i=0;i<n;i++){
        if((a[i]&diff)==0){
            x^=a[i];
        }else y^=a[i];
    }
    if(x>y) swap(x,y);
    printf("%d %d\n",x,y);
}
int main()
{
    int a[10]={1,2,2,3,4,4,5,3};
    findNum(a,8);
}

4.  判断奇偶：

x % 2 == 1 —> (x & 0x1) == 1

x % 2 == 0 —> (x & 0x1) == 0

5.  x >> 1 —> x / 2

即： x = x / 2; —> x = x >> 1;

mid = (left + right) / 2; —> mid = left+( right-left ) >> 1;

6.   得到最后一个 1

X & -X 

7.   X & ~X => 0