题目描述

你有一架天平和 N 个砝码，这 N 个砝码重量依次是 W1, W2, · · · , WN。
请你计算一共可以称出多少种不同的重量？
注意砝码可以放在天平两边。

输入

输入的第一行包含一个整数 N。
第二行包含 N 个整数：W1, W2, W3, · · · , WN。

输出

输出一个整数代表答案。

样例输入

3
1 4 6

样例输出

10

提示

【样例说明】
能称出的 10 种重量是：1、2、3、4、5、6、7、9、10、11。
1 = 1；
2 = 6 4 (天平一边放 6，另一边放 4)；
3 = 4 1；
4 = 4；
5 = 6 1；
6 = 6；
7 = 1 + 6；
9 = 4 + 6 1；
10 = 4 + 6；
11 = 1 + 4 + 6。
【评测用例规模与约定】
对于 50% 的评测用例，1 ≤ N ≤ 15。
对于所有评测用例，1 ≤ N ≤ 100，N 个砝码总重不超过 100000。

题意： 求用n个砝码能称出多少种不同的重量。

分析： 这道题状态设置不是常规的种类数或最值，而是一个布尔值。设dp[i][j]表示用前i个砝码能否称出j这个重量，如果前i个砝码能称出j，那说明前i-1个砝码应该能称出j或j+w[i]或j-w[i]或w[i]-j中的至少一个。假设前i-1个砝码能称出x，如下图：

这时再加上w[i]的影响，应该有四种不同的可能，第一种是不放w[i]，那么dp[i][j]由dp[i-1][j]更新。

剩下三种可能如下图：

第二种可能是放右侧且w[i] <= x，此时x = j+w[i]，所以dp[i][j]由dp[i-1][j+w[i]]更新。

第三种可能是放左侧，此时x = j-w[i]，所以dp[i][j]由dp[i-1][j-w[i]]更新。

第四种可能是放右侧且w[i] > x，此时x = w[i]-j，所以dp[i][j]由dp[i-1][w[i]-j]更新。

具体代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <string>
using namespace std;

int w[105];
bool dp[105][100005]; 
//dp[i][j]表示前i个砝码是否能称出j这个重量 
signed main()
{
	int n, sum = 0;
	cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cin >> w[i];
		sum += w[i];
	}
	dp[1][w[1]] = true;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		dp[i][0] = true; 
	for(int i = 2; i <= n; i++)
		for(int j = 1; j <= sum; j++)
		{
			if(j+w[i] <= sum)
				dp[i][j] = dp[i][j]||dp[i-1][j+w[i]];
			dp[i][j] = dp[i][j]||dp[i-1][abs(j-w[i])];
			dp[i][j] = dp[i][j]||dp[i-1][j];
		}
	int ans = 0;
	for(int i = 1; i <= sum; i++)
		if(dp[n][i]) ans++;
	cout << ans;
    return 0;
}