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树形dp套树形数据结构

对每个节点 \(i\) ，分两步进行：

1.令 \(f_i\) 为Mitya在节点 \(i\) 停止游戏最多可以吃到多少块饼干

我们可以进行一次dfs，用一个树形数据结构（树状数组、线段树、平衡树）来维护从树根节点 \(1\) 到节点 \(i\) 经过的路径上所有节点的“属性二元组”—— \((t_i,x_i)\) ，为了吃到更多块饼干，应该尽量吃 \(t_i\) 小的饼干。

以树状数组为例。由于 \(1≤t_i≤10^6\) ，直接在值域上建立两个树状数组（当然可以先用 \(O(n\ log\ n)\) 的时间离散化，不过此题不必要），一个记录时间 \(ct\) ，一个记录个数 \(cx\) 。dfs到节点 \(i\) 时，首先执行add操作，在 \(ct\) 的位置 \(t_i\) 上加 \(t_ix_i\) ，同时在 \(cx\) 的位置 \(t_i\) 上加 \(x_i\) 。在 \(ct\) 上二分查找 \(ask_{ct}(k)≤T-2S\) 的最大值，其中 \(S\) 为从树根节点 \(1\) 到节点 \(i\) 所需的时间，一来一回所以需要两倍的 \(S\) 。那么 \(f_i\) 的值为在 \(cx\) 上 \(ask_{cx}(k)\) 与剩下时间 \(T-2S-ask_{ct}(k)\) 除以后一个吃单块饼干的时间 \(k+1\) 向下取整后的值之和（当然若 \(k=m\) 则不需要加上后面的部分）。dfs回溯的时候进行类似操作即可。

2.考虑Vasya的干扰，由于Vasya可以删除节点 \(i\) 与 \(i\) 的子节点之间的边，为了删除的有意义，就必须要删掉节点 \(i\) 的所有子节点中结果最大的节点。

因此，令 \(m1_i,m2_i\) 分别为在以节点 \(i\) 为根的子树中除节点 \(i\) 自己外结果的最大值和非严格次大值，特别的，若不存在次大值， \(m2_i=0\)

令 \(dp_i\) 为按照游戏规则在以节点 \(i\) 为根的子树中，Mitya在某一个节点停止游戏可以吃到的饼干数的最大值

显然，若节点 \(i\) 为根节点 \(1\) ，由于Mitya先进行操作，因此 \(dp_i=max(f_i,m1_i)\)

否则，\(dp_i=max(f_i,m2_i)\)

\(dp_1\) 即为所求

时间复杂度 \(O(n\ log^2\ maxT)\)

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 100006, M = 1000006;
ll n, m, T, x[N], t[N], f[N], ct[M], cx[M], m1[N], m2[N], dp[N];
vector<pair<int, ll> > e[N];

void addct(int a, ll k) {
    while (a <= m) {
        ct[a] += k;
        a += a & -a;
    }
}

ll askct(int a) {
    ll ans = 0;
    while (a) {
        ans += ct[a];
        a -= a & -a;
    }
    return ans;
}

void addcx(int a, ll k) {
    while (a <= m) {
        cx[a] += k;
        a += a & -a;
    }
}

ll askcx(int a) {
    ll ans = 0;
    while (a) {
        ans += cx[a];
        a -= a & -a;
    }
    return ans;
}

void dfs(int a, ll S) {
    addct(t[a], t[a] * x[a]);
    addcx(t[a], x[a]);
    int l = 1, r = m + 1;
    while (l < r) {
        int mid = (l + r) >> 1;
        if (askct(mid) <= T - (S << 1)) l = mid + 1;
        else r = mid;
    }
    int k = l - 1;
    f[a] = askcx(k);
    if (k != m) f[a] += (T - (S << 1) - askct(k)) / (k + 1);
    for (unsigned int i = 0; i < e[a].size(); i++)
        dfs(e[a][i].first, S + e[a][i].second);
    addct(t[a], -t[a] * x[a]);
    addcx(t[a], -x[a]);
}

void dfs(int a) {
    for (unsigned int i = 0; i < e[a].size(); i++) {
        int y = e[a][i].first;
        dfs(y);
        if (dp[y] >= m1[a]) {
            m2[a] = m1[a];
            m1[a] = dp[y];
        } else if (dp[y] >= m2[a]) m2[a] = dp[y];
    }
    if (a == 1) dp[a] = max(f[a], m1[a]);
    else dp[a] = max(f[a], m2[a]);
}

int main() {
    cin >> n >> T;
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", &x[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%lld", &t[i]);
        m = max(m, t[i]);
    }
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        int p;
        ll l;
        scanf("%d %lld", &p, &l);
        e[p].push_back(make_pair(i, l));
    }
    dfs(1, 0);
    dfs(1);
    cout << dp[1] << endl;
    return 0;
}