引理: (Abel分部求和法)

$$\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=A_{n}b_{n}+\sum_{k=1}^{n-1}A_{k}(b_{k}-b_{k+1})$$
其中$A_{k}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$.

结论 1:
$$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{k(k+1)}{2}$$
结论 2:
$$\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
证明: 由分部求和公式得
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\sum_{k=1}^{n}k\cdot k&=\frac{n^{2}(n+1)}{2}-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n-1}(k^{2}+k)\\
&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{4}-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}k^{2}
\end{align*}
移项整理便得结论2.

结论 3:
$$\sum_{k=1}^{n}k^{3}=\frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}$$
证明: 由分部求和公式得
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n}k^{3}=\sum_{k=1}^{n}k^{2}\cdot k&=\frac{n^{2}(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{n-1}k(k+1)(2k+1)\\
&=\frac{n^{2}(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{n}k^{3}-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n-1}k^{2}-\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{n-1}k+\frac{n^{3}}{3}
\end{align*}
由结论1 结论2便得结论3.

用此方法可得任意$\alpha$为整数, 和式
$$\sum_{k=1}^{n}k^{\alpha}$$
的表达式.

也可以用贝努利求和公式计算。

命题:设$f(x)$为任意函数,则
$$\sum_{k=1}^{n}f(k)=\binom{n}{1}f(1)+\binom{n}{2}\Delta f(1)+\cdots+\binom{n}{k}\Delta^{k-1}f(1)+\cdots+\binom{n}{n}\Delta^{n-1}f(1)$$
其中$\Delta$是差分算子, $\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)$.
证明: 定义位移算子$E f(x)=f(x+1)$,那么 $E=I+\Delta$,$I$为恒等算子.
$$\sum_{k=1}^{n}f(k)=\sum_{k=1}^{n}E^{k-1}f(1)=\sum_{k=1}^{n}(I+\Delta)^{k-1}f(1)$$
$$=\Delta^{-1}\left[(I+\Delta)^{n}-I\right]f(1)=\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}\Delta^{k-1}f(1)$$

取$f(k)=k^{4}$，经计算
$$\sum_{k=1}^{n}k^{4}=\binom{n}{1}+15\binom{n}{2}+50\binom{n}{3}+60\binom{n}{4}+24\binom{n}{5}$$