K-D Tree简单介绍

2023-12-28 20:06:22

K-D Tree

简介

K-D Tree全称 K-Dimensional Tree，也就是 \(K\) 维树，是一种高效的树形结构

K-D Tree与平衡树（平衡二叉查找树）比较类似，不同在于平衡树每个节点仅仅维护一个值，而K-D Tree所维护的信息可能是 \(2\) 维甚至更高的，那么怎么样才能保证均摊复杂度呢？下面就来说一说

实现

存储与维护

K-D Tree一般需要存储多维点信息和树上节点信息，下面是存储多维点的例子

struct point
{
    int d[k];
    const bool operator < (point p)const
    {
        return d[wd]<p.d[wd];
	}
}

树上节点一般维护子树中每一维信息的最大值和最小值，以及左右儿子编号还有自己对应的一个节点的信息，下面是K-D Tree树上节点的例子

struct Tree
{
	int ch[2];
	point cur,mn,mx;
};

维护方法就是与线段树类似的pushup，可操作性很强，从左右儿子更新自己的信息，有点区别的就是需要注意更新时要加上自己节点所对应的信息，下面是维护节点信息（子树多维信息最大值最小值）的pushup例子

void pushup(Tree p)
{
	for(int i=0;i<2;++i)//枚举左右儿子
		if(p.ch[i])//如果子节点存在
			for(int j=0;j<2;++j)//就更新信息
				p.mn.d[j]=min(p.mn.d[j],kd[p.ch[i]].mn.d[j]),//更新第j维最小值
				p.mx.d[j]=max(p.mx.d[j],kd[p.ch[i]].mx.d[j]);//更新第j维最大值
}

建树

K-D Tree主要通过建树来保证树的形态较为平衡，对于树上的每一层，我们都选择一个维度进行划分，以选择的维度为分辨器来分割节点，主要有 轮转法，随机法和最大方差法，选择之后只要使用函数 nth_element() 来选择中位数，以中位数为划分点，小于中位数的为左儿子，大于中位数的为右儿子，递归建树即可，下面来说说维度划分

轮转法 利用取模运算，每一层一次选择不同的维度进行划分，例如一共有 \(k\) 个维度，那么，第一层用第 \(1\) 维，第 \(2\) 层用第 \(2\) 维……第 \(i\) 层用第 \(i\%k\) 维

随机法 顾名思义利用随机数随机选择一个维度进行划分

最大方差法 计算当前要建树所有点在各个维度的方差，选择方差最大的维度进行划分

建树的复杂度为 \(\Theta(n\log n)\)

下面是一个例子，二维的数据以轮转法划分

void build(int &pos,int l,int r,int dep)
{
	pos=0;//先赋值为0让父节点的子节点编号为0
	if(l>r)return;//如果为空直接返回
	int mid=(l+r)>>1;//找到最中间的位置
	pos=mid;//以最中间位置的下标为当前节点的下标
	wd=dep&1;//维度划分
	nth_element(node+l,node+mid,node+r+1);//找到中位数
	build(kdt[pos].ch[0],l,mid-1,dep+1);//建左儿子
	build(kdt[pos].ch[1],mid+1,r,dep+1);//建右儿子
	pushup(pos);//更新维护的数据，根据具体题目调整
}

查询

K-D Tree的查询操作也很多样，我认为我讲的不够清晰，推荐大家看 Luogu 上@光与影的彼岸的一篇博客，讲的非常详细清晰 浅谈偏序问题与K-D Tree - 光与影的彼岸 - 洛谷博客

我就只简单说一下求平面最近点和最远点的方法

首先考虑朴素算法，将每个节点和所有节点比较，求出所有点对的距离，时间复杂度 \(\Theta(n^2)\)

怎么优化呢？我们可以像A*算法一样设计一个估价函数，根据K-D Tree的划分性质和节点维护的信息，每个节点对应的子树最大值最小值可以看做一个一个的矩形，估价函数则是估计当前点到矩形的最短距离（注意这里估价函数同样需要满足任何估计代价必须小于实际代价），如果当前找到的最短距离都比估价要小，则可以放弃继续查询这棵子树，节省了大量的时间

查询的期望复杂度为 \(\Theta(n\sqrt n)\)

这也是为什么大多数K-D Tree都是作为骗分的算法，但是由于建树方法多种多样，所以卡K-D Tree也并不是那么轻松

下面给出求平面最近点的例子

inline int sqr(int x){return x*x;}//平方
inline int dis2(point x,point y){return sqr(x.d[0]-y.d[0])+sqr(x.d[1]-y.d[1]);}//欧几里得距离平方
inline int fmin(point x,Tree y)//估价函数
{
	int f=0;
	for(int i=0;i<2;++i)
		f+=sqr(max(y.mn.d[i]-x.d[i],0.0))+sqr(max(x.d[i]-y.mx.d[i],0.0));
	return f;
}
int maxans=-1;
inline void querymin(Tree x,point y)
{
	if(x.cur!=y) minans=min(minans,dis2(x.cur,y));//最近点要注意不能判断到自己，否则最近点就都是自身了
	int fl=INF,fr=INF;//估价初始化为正无穷，保证在没有儿子的时候不会继续往下进入死循环
	if(x.ch[0]) fl=fmin(y,kd[x.ch[0]]);//左儿子估价
	if(x.ch[1]) fr=fmin(y,kd[x.ch[1]]);//右儿子估价
	if(fl>=fr)//优先走估价更小的子节点
	{
		if(fr<minans)querymin(kd[x.ch[1]],y);//估价满足就走右儿子
		if(fl<minans)querymin(kd[x.ch[0]],y);//估价满足就走左儿子
	}
	else
	{
		if(fl<minans)querymin(kd[x.ch[0]],y);
		if(fr<minans)querymin(kd[x.ch[1]],y);
	}
}

插入删除

插入操作从根节点开始一直往被划分的方向向下走，直到找到一个相同的点或者找到的节点没有对应子节点，如果找到一个相同的点就维护一个 \(cnt\) 累加即可，若找到的节点没有子节点就申请一个新节点，并且把新的节点编号作为找到节点的左儿子或者右儿子

删除操作和替罪羊树的删除操作比较像，用和插入操作相同的方法找到对应节点之后，为节点打上被删除标记，上传信息的时候特判不要加入自己的信息即可

插入和删除操作结束之后都需要上传标记

需要注意的是，如果只是单纯插入删除点，在操作次数多了之后K-D Tree可能退化为一条链，导致效率变低，为了避免这种问题，我们需要考虑使用类似平衡树的方法来维持树的平衡，但是Splay，有旋Treap之类的旋转操作显然会破坏K-D Tree的性质，我们这时就需要替罪羊树的重构操作，将树直接拍扁然后重新建子树就能尽可能维护树的平衡

小结

K-D Tree能非常方便地处理多维数据，而且可扩展性较强，可以方便地支持各种操作，码量也并不算很大，只是复杂度较高，不过在OI考场上绝对是一种优秀的骗分方法，在大多数情况下都能获得很高的分数，下面给出几道例题，可以尝试一下

Luogu P1429 平面最近点对（加强版）枚举每一个点，K-D Tree找最近点，并记录最小值即可，复杂度 \(\Theta(n^{\frac32})\)

Luogu P6247 [SDOI2012]最近最远点对同上题，只是多了一个最远点

Luogu P4357 [CQOI2016]K 远点对注意到 \(k\) 很小，直接暴力把所有点的最远的 \(k\) 个点放入大小为 \(k\) 小根堆，最后堆顶就是答案

Luogu P4169 天使玩偶/SJY摆棋子带插入K-D Tree板子，对于每个给定点找最近点曼哈顿距离就行

该文为本人原创，转载请注明出处

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