noip2021 训练4 做题记录

P3523 [POI2011]DYN-Dynamite

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Solution

经典树上 \(dp\)。

首先二分 \(mid\) 表示最远的距离。

设 \(f_{x}\) 表示距 \(x\) 最远的未被覆盖的关键点到 \(x\) 的距离,\(g_x\) 表示 \(x\) 到该子树中的选定点的最小距离。

初值显然:\(f_x = -inf\),\(g_x = inf\)

转移方程:\(f_x = max \{ f_y + 1 \}\),\(g_x = max\{ g_y + 1\}\)

但是并不是所有的点都能被选,所以要分类讨论一下:

  • \(f_x + g_x \leq mid\),可以直接覆盖,\(f_x = -inf\)。
  • \(f_x = mid\),此时选 \(x\),那么 \(f_x = -inf\),\(g_x = 0\),\(ans++\)。
  • \(g_x > mid\) 且 \(d_x = 1\),这时就要扔给 \(fa_x\) 处理,所以 \(f_x = max\{ f_x, 0\}\)

P2324 [SCOI2005]骑士精神

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Solution

\(IDA*\) 板子题,乐观估价函数就是 \(5 \times 5\) 的目标矩阵和当前 dfs 到的矩阵中不同的点的个数。

爆搜即可。

P3205 [HNOI2010]合唱队

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Solution

经典区间 \(dp\)。

设 \(f_{i,j}\) 表示选了区间 \([i,j]\) 且最后一个人从左边进来的方案数,\(g_{i,j}\) 表示最后一个人从右边进来的方案数。

转移就很 easy 了:

\(f_{i,j} = f_{i + 1, j} \times (a_i < a_{i + 1}) + g_{i + 1, j} \times (a_i < a_{j})\)

\(g_{i, j} = g_{i, j - 1} \times (a_{j} > a_{j - 1}) + f_{i, j - 1} \times (a_j > a_i)\)

P2513 [HAOI2009]逆序对数列

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Solution

看到名字,本来以为又是树状数组维护什么东西,结果不是……

看了一眼题解发现要 \(dp\) 一下子,\(dp\) 就 \(dp\) 吧。

我们设 \(f_{i,j}\) 表示 \(i\) 的全排列中,逆序对数为 \(j\) 的个数。

我们考虑把 \(i\) 插入到 \(i - 1\) 的全排列中,枚举这次插入增加了 \(k\) 个逆序对。

那么转移方程就是:

\[f_{i, j} = \sum\limits_{k = max\{0, j - i + 1\}}^j{f_{i - 1, k}} \]

朴素的转移是 \(O(n^2)\) 的,考虑优化。

优化也很简单,发现 \(k\) 是从 0 开始枚举的,做个前缀和即可。

P2592 [ZJOI2008]生日聚会

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模拟赛上考了原题,还是比较 easy 的。

发现数据范围还是很小的,考虑四维 \(dp\)。

设 \(dp_{i, j, c1, c2}\) 表示安排了 \(i\) 名男生,\(j\) 名女生,且后缀男生数量减去女生数量最大是 \(c1\),最大后缀女生减男生数量是 \(c2\)。

转移就比较显然了,用刷表法(边界好处理一点)。

在最右边安排一名男生:

\[dp_{i + 1, j, c1 + 1, max\{ 0, c2 - 1\}} += dp_{i, j, c1, c2} \]

安排女生同理。

P4295 [SCOI2003]严格N元树

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Solution

高精度板子

还是 \(dp\),设 \(f_i\) 表示深度不超过 \(i\) 的严格 \(n\) 元树的个数。

转移的过程相当于再增加一个根,且新建的根节点需要 \(n\) 个子树。

那么转移方程就是:\(f_i = f_{i - 1}\, ^ n + 1\) (+1 就是只有自己)

简单吧,但是要用高精度(

P2607 [ZJOI2008]骑士

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Solution

基环树上 \(dp\) 板子。

(但是为什么全机房除了我其他人都做过啊啊啊,果然还是我太菜了 \(QwQ\))

这道题给出的骑士之间的厌恶关系会形成基环树(森林),那么我们要在上面跑 \(dp\)。

以下按一棵基环树来讨论。

我们先找到,然后选择上面的一个点为根,跑树形 \(dp\),然后再换成与它相邻的一个点为根跑一遍树形 \(dp\),取个最大值就是答案了(树形 \(dp\) 最下面再说)。

我们再来考虑基环树森林,其实是一样的。

主函数里枚举一遍所有的点,如果还没遍历过,就重复一次上述操作。

那么树形 \(dp\) 怎么跑?类似于 没有上司的舞会。

我们设 \(f_{x,0/1}\) 表示以 \(x\) 为根(\(x\) 选 或 不选)的子树中最大战斗力。

转移方程:

\[f_{x, 0} += max(f_{y, 0}, f_{y, 1}) \]

\[f_{x, 1} += f_{y, 0} \]

P4035 [JSOI2008]球形空间产生器

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高斯消元板子

不过还是要稍稍推一下式子的。

关于 \(n\) 维空间里两个点之间的距离题目下方的说明/提示里有。

这道题给我们的都是表面上的点,言外之意,到球心距离相等。

假设我们要求的球心坐标:\((x_1, x_2, x_3……x_n)\)

那么有:\(\sum\limits_{i = 1}^{n}{\sum\limits_{j = 1}^n(a_{i,j} - x_j)^2 = C}\)

但是这是个二次方程,还有个常数怎么办啊?

上下一减就完了,减的过程就不写了(懒得打字了),建议自己手推一下。

下面是化简完的式子:

\[\sum\limits_{j = 1}^n2(a_{i,j} - a_{i + 1, j})x_j = \sum\limits_{j = 1}^n(a_{i, j}^2 - a_{i + 1, j}^2) \]

看着不清新?换元一下:

\[k_j = 2(a_{i, j} - a_{i + 1, j}) \]

\[y_j = \sum\limits_{j = 1}^n(a_{i, j}^2 - a_{i + 1, j}^2) \]

\[\sum\limits_{j = 1}^n(k_j \times x_j) = y_j \]

对这个式子建个增广矩阵,跑个高斯消元就完了。

P2146 [NOI2015] 软件包管理器

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树链剖分板子题,不多说了。

P2375 [NOI2014] 动物园

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\(kmp\) 好题。但是讲一次忘一次

大概就是不能暴力调 \(next\) 数组,会被卡。

所以我们不用重置前一次跳到的坐标,每次往后跳一格,判断一下即可。

P4133 [BJOI2012]最多的方案

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Solution

记忆化搜索不解释。

记录一个斐波那契数列的前缀和,每次跟当前搜索到的要分解的数\(x\) 比一下。

如果 \(x > sum_{i - 1}\) ,当前位就必须选了,否则的话选或不选两种情况都搜一遍。

P1640 [SCOI2010]连续攻击游戏

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Solution

二分图匹配好题。

观察到每个物品只能用一次,即每次只用使用一个属性值。

那么我们把武器和属性值连边,从 1 开始枚举并跑匈牙利算法。

如果无法匹配直接break(题意要求),然后输出答案即可。

P1403 [AHOI2005]约数研究

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不能理解为什么是橙题……我怕不是连橙题都不会了……

通过打表发现,一段数的约数个数是一样的,每次让 \(i\) 等于 \(\frac{i}{n/i} + 1\) 中间的数整体算即可。

\[\_EOF\_ \]

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