1、平衡二叉树是一种二叉排序树，其中每一个结点的左子树和右子树的高度差至多等于1。我们将二叉树上结点的左子树深度减去右子树深度的值称之为平衡因子BF（Balance Factor），距离插入结点最近的，且平衡因子的绝对值大于1的结点为根的子树，我们称之为最小不平衡树。
2、平衡二叉树的实现原理：平衡二叉树构建的基本思想就是在构建二叉排序树的过程中，每当插入一个结点时，先检查是否因插入而破坏了树的平衡性，若是，则找出最小不平衡子树。在保持二叉排序树特性的前提下，调整最小不平衡子树中各结点之间的链接关系，进行相应的旋转，使之成为新的平衡子树。
所谓的平衡二叉树，其实就是在二叉排序树创建的过程中保证它的平衡性，一旦发现有不平衡的情况，马上处理，这样就不会造成不可收拾的情况出现。当最小不平衡子树根结点的平衡因子BF大于1时，就右旋，小于1时，就左旋，插入结点后，最小不平衡子树的BF与它的子树的BF符号相反时，就需要对结点先进行一次旋转以使得符号相同后，再反方向旋转一次才能够完成平衡操作。
3、代码实现
- 左平衡旋转处理：
左平衡处理前提是以T为根结点的二叉树，T的bf为1左高，仍然在T的左子树插入一个结点，使得T的bf大于1，二叉树就不平衡
分以下几种情况处理：
T的左孩子结点bf为LH左高：则新结点插入在T的左孩子的左子树上，要单右旋处理，也就是T和T的左孩子都是LH同符号则只需要单右旋处理
T的左孩子结点bf为RH右高：则新结点插入在T的左孩子的右子树上，要双旋处理先左旋再右旋，也就是T为LH和T的左孩子是RH不同符号需要双旋处理
对于T的左孩子结点为RH分三种情况处理：
一T左孩子L的右子树根Lr为LH:对L左旋再对T右旋，T的bf变为RH，L的bf变为EH
二T左孩子L的右子树根Lr为EH:对L左旋再对T右旋，T的bf变为EH，L的bf变为EH
三T左孩子L的右子树根Lr为RH:对L左旋再对T右旋，T的bf变为EH，L的bf变为LH
以上就是把需要左平衡的所有处理情况包括了
- 右平衡旋转处理：
右平衡处理前提是以T为根结点的二叉树，T的bf为-1右高，仍然在T的右子树插入一个结点，使得T的bf小于-1，二叉树就不平衡
分以下几种情况处理：
T的右孩子结点bf为RH右高：则新结点插入在T的右孩子的右子树上，要单右旋处理，也就是T和T的右孩子都是RH同符号则只需要单左旋处理
T的右孩子结点bf为LH左高：则新结点插入在T的右孩子的左子树上，要双旋处理先右旋再左旋，也就是T为RH和T的左孩子是LH不同符号需要双旋处理
对于T的右孩子结点为RH分三种情况处理：
一T右孩子L的左子树根Rl为RH:对L右旋再对T左旋，T的bf变为LH，R的bf变为EH
二T右孩子L的左子树根Rl为EH:对L右旋再对T左旋，T的bf变为EH，R的bf变为EH
三T右孩子L的左子树根Rl为LH:对L右旋再对T左旋，T的bf变为EH，R的bf变为RH
以上就是把需要左平衡的所有处理情况包括了
4、总结
如果我们需要查找的集合本身没有顺序，在频繁查找的同时也需要经常的插入和删除操作，显然我们需要构建一棵二叉排序树，但是不平衡的二叉排序树，查找效率是非常低的，因此我们需要在构建时，就让这棵二叉排序树是平衡二叉树，此时我们的查找时间复杂度为O(logn)，而插入和删除也为O(logn)，这显然是比较理想的一种动态查找表算法。
#include<iostream>
using namespace std;
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define LH 1 //left high左高为1
#define EH 0 //equal high等高为0
#define RH -1 //right high右高为-1
typedef char Elemtype;
//二叉链表结点结构定义
typedef struct Node //结点结构
{
Elemtype data; //结点数据
int bf; //结点的平衡因子bf=左子树高度-右子树高度
struct Node* L; //左孩子指针
struct Node* R; //右孩子指针
}Node, * BTree;
//对以p结点为根的结点右旋操作
void R_Rotate(BTree* p)
{
BTree pL;
pL = (*p)->L;
(*p)->L = pL->R;
pL->R = (*p);
*p = pL;
}
//对以p结点为根的结点左旋操作
void L_Rotate(BTree* p)
{
BTree pR;
pR = (*p)->R;
(*p)->R = pR->L;
pR->L = (*p);
*p = pR;
}
//左平衡旋转处理
/*
左平衡处理前提是以T为根结点的二叉树，T的bf为1左高，仍然在T的左子树插入一个结点，使得T的bf大于1，二叉树就不平衡
分以下几种情况处理：
T的左孩子结点bf为LH左高：则新结点插入在T的左孩子的左子树上，要单右旋处理，也就是T和T的左孩子都是LH同符号则只需要单右旋处理
T的左孩子结点bf为RH右高：则新结点插入在T的左孩子的右子树上，要双旋处理先左旋再右旋，也就是T为LH和T的左孩子是RH不同符号需要双旋处理
对于T的左孩子结点为RH分三种情况处理：
一T左孩子L的右子树根Lr为LH:对L左旋再对T右旋，T的bf变为RH，L的bf变为EH
二T左孩子L的右子树根Lr为EH:对L左旋再对T右旋，T的bf变为EH，L的bf变为EH
三T左孩子L的右子树根Lr为RH:对L左旋再对T右旋，T的bf变为EH，L的bf变为LH
以上就是把需要左平衡的所有处理情况包括了
*/
void LeftBalance(BTree* T)
{
BTree TL, TLr;
TL = (*T)->L;
switch (TL->bf)
{
case LH:
(*T)->bf = TL->bf = EH;
R_Rotate(T);
break;
case RH:
TLr = TL->R;
switch (TLr->bf)
{
case LH:
(*T)->bf = RH;
TL->bf = EH;
break;
case EH:
(*T)->bf = TL->bf = EH;
break;
case RH:
(*T)->bf = EH;
TL->bf = LH;
break;
default:
break;
}
TLr->bf = EH;
L_Rotate(&(*T)->L);
R_Rotate(T);
default:
break;
}
}
//右平衡旋转处理
/*
右平衡处理前提是以T为根结点的二叉树，T的bf为-1右高，仍然在T的右子树插入一个结点，使得T的bf小于-1，二叉树就不平衡
分以下几种情况处理：
T的右孩子结点bf为RH右高：则新结点插入在T的右孩子的右子树上，要单右旋处理，也就是T和T的右孩子都是RH同符号则只需要单左旋处理
T的右孩子结点bf为LH左高：则新结点插入在T的右孩子的左子树上，要双旋处理先右旋再左旋，也就是T为RH和T的左孩子是LH不同符号需要双旋处理
对于T的右孩子结点为RH分三种情况处理：
一T右孩子L的左子树根Rl为RH:对L右旋再对T左旋，T的bf变为LH，R的bf变为EH
二T右孩子L的左子树根Rl为EH:对L右旋再对T左旋，T的bf变为EH，R的bf变为EH
三T右孩子L的左子树根Rl为LH:对L右旋再对T左旋，T的bf变为EH，R的bf变为RH
以上就是把需要左平衡的所有处理情况包括了
*/
void RightBalance(BTree* T)
{
BTree TR, TRl;
TR = (*T)->R;
switch (TR->bf)
{
case RH:
(*T)->bf = TR->bf = EH;
L_Rotate(T);
break;
case LH:
TRl = TR->L;
switch (TRl->bf)
{
case RH:
(*T)->bf = LH;
TR->bf = EH;
break;
case EH:
(*T)->bf = TR->bf = EH;
break;
case LH:
(*T)->bf = EH;
TR->bf = RH;
break;
default:
break;
}
TRl->bf = EH;
R_Rotate(&(*T)->R);
L_Rotate(T);
default:
break;
}
}
//在二叉平衡树中不断递归调用插入结点e，布尔taller反应T是否长高
int InsertAVL(BTree* T, Elemtype e, int* taller)
{
//如果T结点为空插入e，通过递归不断找到适合插入e的叶子结点位置，然后就行平衡处理
if (*T == NULL)
{
*T = (Node*)malloc(sizeof(Node));
(*T)->data = e;
(*T)->L = (*T)->R = NULL;
(*T)->bf = EH;
*taller = TRUE;
}
else
{
//T中已存在与e相同的元素的结点则不再插入
if (e == (*T)->data)
{
*taller = FALSE;
return FALSE;
}
//在T的左子树搜索适当的插入位置
if (e < (*T)->data)
{
if (InsertAVL(&(*T)->L, e, taller) == FALSE)
return FALSE;
//T中插入结点e后taller变为TRUE
if (*taller)
{
//检查T的平衡度
switch ((*T)->bf)
{
case LH: //T本来LH，又要将e插入左子树，需要左平衡处理
LeftBalance(T);
*taller = FALSE;
break;
case EH: //T本来EH，将e插入左子树，T的bf变为LH
(*T)->bf = LH;
*taller = TRUE;
break;
case RH: //T本来RH，将e插入左子树，T的bf变为EH
(*T)->bf = EH;
*taller = FALSE;
break;
}
}
}
else //在T的右子树搜索适当的插入位置
{
if (InsertAVL(&(*T)->R, e, taller) == FALSE)
return FALSE;
//T中插入结点e后taller变为TRUE
if (*taller)
{
//检查T的平衡度
switch ((*T)->bf)
{
case LH: //T本来LH，将e插入右子树，T的bf变为EH
(*T)->bf = EH;
*taller = FALSE;
break;
case EH: //T本来EH，将e插入右子树，T的bf变为RH
(*T)->bf = RH;
*taller = TRUE;
break;
case RH: //T本来RH，又要将e插入右子树，需要右平衡处理
RightBalance(T);
*taller = FALSE;
break;
}
}
}
}
return TRUE;
}
int main()
{
BTree T=NULL;
int taller;
char a[10] = { 'd','b','e','f','c','a','g','h' };
for (int i = 0; i < 8; i++)
{
InsertAVL(&T, a[i], &taller);
cout << T->bf << endl;
}
return 0;
}