决策树，听名字就知道跟树有关，而且很容易猜到是一种类似依靠树形结构来辅助决策过程的策略。所以重点就是如何构建这个树，如何依次选取树的各个节点，以便能在测试集中有较好的表现。
信息熵与信息增益
说到如何选取节点，就要引入信息熵的概念。我以前一看到“熵”这个字就头疼，以为是跟高深的物理学相关，其实很好理解，简单说就是纯度。假设有一罐混合了氧气和二氧化碳的气体：
我们通常会说这罐气体不纯，那么怎么来度量这个纯度呢？假设氧气占20%，二氧化碳占80%，则可以看做是二氧化碳里混入了少量的氧气，二氧化碳相对纯一些；如果看做是氧气中混入了大量的二氧化碳，那么这个氧气也太不纯了。我们在这里所讨论的纯度，都是针对某一特定对象而言，而又不适用于这个系统里的其他对象。如果把这个罐子当做整个系统的话，信息熵就可以看做是系统级的纯度。一般这样度量信息熵，系统纯度越低，信息熵越大，反之，系统纯度越高，信息熵越小。如果罐子里只剩一种气体，则信息熵为0。
信息熵的计算公式如下：
其中k表示系统中特征的数量，p(xi)表示每个特征再系统中的占比。所以我们可以算出此时的信息熵为：
假设由于保存不当，罐子中混入了一种有色气体（比如二氧化硫）：
假设目前三种气体的占比为：氧气15%，二氧化碳50%，二氧化硫35%，根据信息熵的理论，现在整个系统的信息熵应该比原先更大了（纯度降低）。我们不妨再算一下此时的信息熵：
可以看到信息熵增大了，符合之前的理论。那么如果我们现在要分离这三种气体，就需要选择一个标准，或者说，选择能够区分这三种气体的特征进分离。最直观的特征就是有色跟无色：
如果按这个特征对系统进行划分，则会将系统划分为有色气体跟无色气体两个子集。划分后的系统，已经由最初较为混沌的状态（三种气体混合）变成了有色跟无色两部分，所以，此时的信息熵就变成了有色子集的信息熵与无色子集信息熵的加和。但考虑到这两类气体在系统中的占比，需要将占比作为子集信息熵的权重，所以此时的信息熵为：
所以经过对气体颜色这一特征的划分，系统的信息熵由1.125变成了0.418，说明系统纯度有所提升。为了准确的表示提升的具体情况，就把这个提升空间叫做信息增益。
写成标准式：
其中，D表示整个样本数据集，a表示所选的用户划分系统样本的特征，Ent(D)表示划分前的信息熵，|Di|表示划分后的每个子集的样本个数，|D|表示划分前的样本总数，Ent(Di)表示每个子集各自的信息熵。后面一项实际上就是子集信息熵的期望。
从公式可以看出，如果选取不同的特征，划分后的信息熵可能会有大小之分，而系统当前的信息熵是不变的，所以划分后的信息熵如果越小，信息增益就越大，说明系统纯度提升的幅度就越大，反之亦然。所以，我们就需要遍历所有已知特征，找出能够提升幅度最大的那个特征，作为首选的划分特征。
至此，就把信息熵和信息增益的概念介绍清楚了，虽然有点啰嗦，但是应该是比较通俗易懂的。我们上面介绍的这种选取划分特征的算法也叫做ID3算法。下面来看西瓜书中对应的例子。
ID3算法
按照上面的套路，我们先取色泽作为划分特征，计算一下对应的信息增益。
首先，系统当前有8个好瓜，9个坏瓜，所以对应 信息熵为：
我们再选色泽作为划分特征，计算一下子集信息熵的期望：
其中：
带入上式，得：
再依次计算出其他特征对应的信息增益，取信息增益最大的那个特征作为首选条件，再如此继续划分下去，就可以得到一个树形结构的分支图，即我们要的决策树。
退出条件：
1.划分子集的信息熵为0；
2.无可用特征，取当前集合占比最大的作为标签。
下面我们用Python来实现。首先要把图4.1的文字转为csv文件的格式：
我们只要从csv里读取数据，就能进行后续的分析了。ID3的Python实现如下：
import numpy as np
import math
class DTree:
def __init__(self, type=0):
self.dataset = ‘‘
self.model = ‘‘
def load_data(self, data):
dataset = np.loadtxt(data, delimiter=‘,‘, dtype=str)
self.dataset = dataset
def get_entropy(self, dataset):
# 统计总数及正反例个数
sum_num = len(dataset[1:])
p1 = dataset[1:, -1].astype(int).sum() / sum_num
p2 = 1 - p1
# 如果p1或p2有一个为0，说明子集纯度为0,，直接返回0
if p1==0 or p2==0:
return 0
# 使用公式计算信息熵并返回
return -1*(p1*math.log2(p1) + p2*math.log2(p2))
def get_max_category(self, dataset):
pos = dataset[1:, -1].astype(int).sum()
neg = len(dataset[1:, -1]) - pos
return ‘1‘ if pos > neg else ‘0‘
def dataset_split(self, dataset, feature, feature_value):
index = list(dataset[0, :-1]).index(feature)
# 遍历特征所在列，剔除值不等于feature_value的行
j = 0
for i in range(len(dataset[1:, index])):
if dataset[1:, index][j] != feature_value:
dataset = np.delete(dataset, j+1, axis=0)
j -= 1
j += 1
# 删除feature所在列
return np.delete(dataset, index, axis=1)
def get_best_feature(self, dataset, E):
feature_list = dataset[0, :-1]
feature_gains = {}
for i in range(len(feature_list)):
# 分别统计在每个特征值划分下的信息增益
feature_values = np.unique(dataset[1:, i])
feature_sum = len(dataset[1:, i])
# 累加子集熵
sub_entropy_sum = 0
for value in feature_values:
# 按值划分子集
subset = self.dataset_split(dataset, feature_list[i], value)
subset_sum = len(subset)
# 计算子集熵
sub_entropy = self.get_entropy(subset)
# 权重
w = subset_sum/feature_sum
# 汇总当前特征下的子集熵*个数权重
sub_entropy_sum += w*sub_entropy
# 根据算公式计算信息增益
feature_gains[feature_list[i]] = E-sub_entropy_sum
# 返回最大信息增益对应的特征及索引
max_gain = max(feature_gains.values())
for feature in feature_gains:
if feature_gains[feature] == max_gain:
index = list(feature_list).index(feature)
return feature, index
def build_tree(self, dataset):
# 计算数据集信息熵
E = self.get_entropy(dataset)
# 设置退出条件
# 1.如果集合的信息熵为0，则返回当前标签
if E == 0:
return dataset[1][-1]
# 2.特征数为1，说明无可划分特征，返回当前集合中占比最多的标签
if len(dataset[0]) == 2: # 特征+标签
return self.get_max_category(dataset)
# 获取最佳特征
feature, index = self.get_best_feature(dataset, E)
# 按特征划分子集
tree = {feature:{}}
# 获取特征值
feature_values = np.unique(dataset[:, index][1:])
# 按特征值划分子集
for value in feature_values:
subset = self.dataset_split(dataset, feature, value)
subtree = self.build_tree(subset)
tree[feature][value] = subtree
return tree
def train(self):
self.model = self.build_tree(self.dataset)
return self.model
def predict(self, tree, testset):
pass
dtree = DTree()
dtree.load_data(‘data4_1.csv‘)
tree_model = dtree.train()
print(tree_model)
分类结果：
缺点：如果把编号也作为样本特征的话，那么它的信息增益为0.758，大于所有其他特征的信息增益，说明特征值种类越多，信息增益趋向于越大。
通过增益率改良后的C4.5算法
C4.5算法旨在消除这种由特征值种类差异所引起的“不平等待遇”。它引入了特征的“固有值”的概念，相当于对该特征的种类及数量计算信息熵。而这种“固有值”也拥有这种“不平等待遇”（种类越多，信息增益越大），所以两者相除，正好抵消了这种差异：
固有值的计算公式：
信息增益在C4.5算法下的计算公式：
由于C4.5与ID3的区别只是计算公式的不同，所以在获取最佳特征的函数get_best_feature()中稍作修改即可：
def get_best_feature(self, dataset, E):
feature_list = dataset[0, :-1]
feature_gains = {}
for i in range(len(feature_list)):
# 分别统计在每个特征值划分下的信息增益
feature_values = np.unique(dataset[1:, i])
feature_sum = len(dataset[1:, i])
# 累加子集熵
sub_entropy_sum = 0
# 累加feature的固有值
intrinsic_value = 0
for value in feature_values:
# 按值划分子集
subset = self.dataset_split(dataset, feature_list[i], value)
subset_sum = len(subset)
# 计算子集熵
sub_entropy = self.get_entropy(subset)
# 权重
w = subset_sum/feature_sum
# 汇总当前特征下的子集熵*个数权重
sub_entropy_sum += w*sub_entropy
intrinsic_value += -1*(w*math.log2(w))
# 根据算法类型选择对应的公式计算信息增益
if self.type == 0:
feature_gains[feature_list[i]] = E-sub_entropy_sum
else:
feature_gains[feature_list[i]] = (E-sub_entropy_sum)/intrinsic_value
# 返回最大信息增益对应的特征及索引
max_gain = max(feature_gains.values())
for feature in feature_gains:
if feature_gains[feature] == max_gain:
index = list(feature_list).index(feature)
return feature, index
得到的分类结果：
基尼系数和剪枝的内容待补充。。。