这里写目录标题
- Dot Product (scalar 的similarity)
- Dot-product-like(matrix 的similarity)
- Cross Product (different)
- Cross Product (Area)
- Orthogonality (Orthogonality)
Dot Product (scalar 的similarity)
a = [ a 1 , a 2 ] b = [ b 1 , b 2 ] a . b = [ a 1 , a 2 ] . [ b 1 , b 2 ] = a 1 b 1 + a 2 b 2 a = [a_1, a_2] \space b = [b_1, b_2] \newline a.b = [a_1, a_2] .[b_1, b_2] = a_1b_1+a_2b_2 a=[a1,a2] b=[b1,b2]a.b=[a1,a2].[b1,b2]=a1b1+a2b2
乘法的顺序和规则与数字的一样
使用的一些情况
单个vector与自己做dot product的结果是这个vector的length（也叫做norm 或者 magnitude）的平方
a . a = a 1 2 + a 2 2 = ∣ ∣ a ∣ ∣ 2 a.a ={a_1^2} + {a_ 2^2} = ||a||^2 a.a=a12+a22=∣∣a∣∣2
如果想知道a与b的dot product结果，但不知道具体的vector坐标怎么办？
a . b = ∣ ∣ a ∣ ∣ ∣ ∣ b ∣ ∣ c o s θ a.b=||a|| ||b|| cos\theta a.b=∣∣a∣∣∣∣b∣∣cosθ
cosine 角度为0时，cosine的结果为1正（波峰）。意味a,b vector同处于一个相同方向， a,b的dot product 结果也正。
cosine角度为 π \pi π 时，cosine的结果为-1负（波谷）。意味a,b vector 处于不同的两个方向， a,b的dot product 结果为负。
cosine角度为 π / 2 \pi/2 π/2 时，cosine的结果为0（穿过原点）。意味a,b vector 方向互为垂直， a,b的dot product 结果为0。
根据 Cauchy-Schwarz Inequality, dot product 的结果小于或等于vector 的 length （norm/magnitude）相乘
$|a.b| <= ||a|| |b|| $
Dot-product-like(matrix 的similarity)
The projection of b onto a
测量vectors相互运动有多好，类似于vectors之间的similarity，这里要用 “doto-product-like” 测量方式。这个方式返回vector （matrix）而不是一个scalar
a . b a.b a.b : 测量“how well b travels in the direction of a”, 这里是测量“b”以“a” 为目标
(
a
.
b
)
.
a
(a.b).a
(a.b).a: preserving information about the direction
因为研究的是direction和length无关，为了减少length的影响，上述公式被优化(使用normalisation)成：
a
.
b
∣
∣
a
∣
∣
a
∣
∣
a
∣
∣
˙
\frac{a.b}{||a||}\dot \frac{a}{||a||}
∣∣a∣∣a.b∣∣a∣∣a˙
a . b ∣ ∣ a ∣ ∣ a ∣ ∣ a ∣ ∣ ˙ \frac{a.b}{||a||}\dot \frac{a}{||a||} ∣∣a∣∣a.b∣∣a∣∣a˙ = a . b a . a a \frac{a.b}{a.a} a a.aa.ba = P r o j a b Proj_ab Projab
使用的一些情况
用于计算点到线的距离
Cross Product (different)
$$
a = [a_1, a_2] \space
b = [b_1, b_2] \newline
a.b = [a_1, a_2,a_3] \times [b_1, b_2,b_3]
=[a_ab_3 - a_3b_2, a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1]
$$