00 前言

各位小伙伴大家好，相信大家已经看过前面column generation求解vehicle routing problems的过程详解。该问题中，子问题主要是找到一条reduced cost最小的合法路径，然后加入到Master Problem中。其实，子问题也是一个著名的NP-Hard问题，今天我们就来介绍一下。

01 ESPPRC

考虑图1.1中描述的网络。 除了每条边的成本c_ij之外，还存在经过边（i，j）的所消耗的资源t_ij，比如时间。 我们的目标是找到从开始节点到结束节点的最短路径，每个节点只能访问一次，同时使得资源消耗满足可用的资源约束，比如全程不能超过多少时间。[1]

当然上面描述问题只是ESPPRC中的一个例子，实际的资源约束可能有很多种，比如在VRPTW的子问题中：[2]

起始节点和结束节点一样，每个节点有固定的时间窗和固定的需求。车辆不能超过容量约束的要求等等。

ESPPRC vs SPPRC

SPPRC和ESPPRC一样，只不过SPPRC去掉了elementary的约束，允许最短路中一个节点被访问多次。

02 应用

我们知道，ESPPRC是可以应用在column generation中的算法框架中的。那么具体是怎么应用的呢？我们知道，在column generation中，subproblem每次迭代就是找一条reduced cost最小的路径，然后加入到Master Problem中。但是对于ESPPRC来说，每次的cost一样的，那不每次都求出同一条路径吗？？？

不！在column generation中，其子问题ESPPRC中边的cost是会随着Master Problem的求得到对偶变量改变而改变的。还记得reduced cost是怎么计算的吗？

其中，式子(22)可以表达成式子(23)，(23)是什么意思呢？b_ijk意思是边ij是否在路径k中。那么，在每一次迭代中，我们就可以利用Master Problem的对偶变量，来更新ESPPRC中每条边的cost，最终求得的路径cost就是column generation中的reduced cost。

03 常见的算法

ESPPRC的建模如下：[4]

求解SPPRC和ESPPRC常见的算法主要有以下几种：[3]

• Dynamic programming and labeling algorithms
• Lagrangean relaxation
• Constraint programming(建模)
• Heuristics

04 Pulse Algorithm

这一节介绍一个ESPPRC的精确算法Pulse Algorithm[5]，算法的伪代码如下：

其中：

• r：表示到达当前节点时的cost
• q：表示到达当前节点时的装载量
• t：表示到达当前节点所需的总时间，早到需要等待，不能晚到

大体的思想是通过bound算法确定到达每个节点的最低cost，然后pulse进行路径搜索，而之前bound求出来的最低cost就可以在pulse搜索的过程中起到定界的作用，去掉一些不好的路径。

bound的算法如下：

每个节点的最低cost（相当于一个lower bound）是怎么算出来的呢？简单来说是通过限定每个节点最晚到达时间。在每个节点都给定最晚到达时间t，然后计算在这个最晚到达时间下，每个到达每个节点的最低cost。然后让t递减，直到t减少到临界值。最终得到的是每个节点关于各个最晚到达时间的最低cost矩阵。

最后来看看pulse算法：

pulse是找路的过程，在该过程中：

• isFeasible检查到达节点时路径是否满足各种资源约束。
• checkBounds检查在当前到达时间下，到达节点的cost是否小于等于之前bound算法求出来的那个最晚时间下的最低cost，如果不是就丢弃该支路径。
• rollback进行如下检查：
  

在每一个节点（开始节点除外），比如上图中节点j，如果实线路径的cost < 虚线路径的cost。那么砍掉实线的路径（已经有人的cost比你更低，你可以滚了），这就相当于一个回滚的操作。

以上>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>就是整个pulse算法。这里只是起到一个抛砖引玉的过程。可能讲的不是很详细，详细的过程请大家去阅读文献。

05 算法代码

关于整个pulse算法伪代码和讲解已经够详细了，这里给出一个C++的实现代码，是我远房的一个学长的学姐的男朋友写的（真话）。关于编译运行上面也说明得够详细了。

代码下载请关注我们的公众号哦！在后台回复【espprc】不包括【】即可下载。

reference

• [1] A PRIMER IN COLUMN GENERATION, Jacques Desrosiers Marco E. L ubbecke
• [2] A tutorial on column generation and branch-and-price for vehicle routing problems, Dominique Feillet
• [3] SHORTEST PATH PROBLEMS WITH RESOURCE CONSTRAINTS, Stefan Irnich Guy Desaulniers
• [4] An Exact Algorithm for the Elementary Shortest Path Problem with Resource Constraints: Application to Some Vehicle Routing Problems, Dominique Feillet, Pierre Dejax, Michel Gendreau, Cyrille Gueguen
• [5] An Exact Algorithm for the Elementary Shortest Path Problem with Resource Constraints, Leonardo Lozano, Daniel Duque, Andrés L. Medaglia