7.2 递推与记忆化搜索

记忆化搜索就是DP过程中的一种小手段，往往能够减少非常多的重复计算。

---

poj 1163 “The Triangle”

给定一个n层的三角形数塔，从顶部第一个数往下走，每层经过一个数字，直到最底层。注意，只能走斜下方的左边一个数或者右边一个数。问所有可能走到的路径，最大的数字和是多少？

分析：这个问题就是紫书上dp部分作为序章的数字三角形。如果像下面这样常规的递归写法：

int solve(int i,int j){
	return a[i][j]+(i==n?0:max(solve(i+1,j),solve(i+1,j+1)));
}

但事实上这个问题中有很多状态的值是需要重复利用的，直接递归的写法会重复计算状态的值，和直接暴力计算选择的方案的2ⁿ的复杂度是一样的。

---

递推

递推就是我们之前dp常写的代码，用d数组来存储状态对应的值，从底往上进行计算。

int i,j;//先把最下面一层状态的d值全部预备好
for (int j=1;j<=n;j++) d[n][j]=a[n][j]//状态转移方程一步一步向上推
for (i=n-1;i>=1;i--) for (j=1;j<=i;j++) d[i][j]=a[i][j]+max(d[i+1][j],d[i+1][j+1]);

因为是从底往上运算，但计算上层的d值时，直接使用下层已经计算好的d值即可。

---

记忆化搜索

记忆化搜索是在递归的基础上进行优化，在用递归实现dp时，记录已经计算过的状态，并在后续的运算中跳过已经计算过的重复状态。

memset(d,-1,sizeof(d));
int solve(int i,int j){
	if (d[i][j]>=0) return d[i][j];
	return d[i][j]=a[i][j]+(i==n?0:max(solve(i+1,j),solve(i+1,j+1)));
}

像上面这个代码，先将状态的值全部赋值为-1，表示从未计算过。每当进入一个状态，如果它的d值大于等于0，说明之前已经计算过，直接返回d值即可，避免了大量的重复运算。