1、神经元细胞的数学模型
神经网络由基本的神经元组成，下图就是神经元的数 学/计算模型，便于我们用程序来实现。
2、神经网络中的三个基本概念
这三大概念是：反向传播，梯度下降，损失函数。
简单总结一下反向传播与梯度下降的基本工作原理：
（1）初始化；
（2）正向计算；
（3）损失函数为我们提供了计算损失的方法；
（4）梯度下降是在损失函数基础上向着损失最小的点靠 近而指引了网络权重调整的方向；
（5）反向传播把损失值反向传给神经网络的每一层，让 每一层都根据损失值反向调整权重；
（6）重复正向计算过程，直到精度足够好（比如损失函 数值小于 0.0010.001）。
3、 线性反向传播
3.1 正向计算的实例
假设有一个函数：
z = x ⋅ y (1) z = x \cdot y \tag{1} z=x⋅y(1)
其中:
x = 2 w + 3 b (2) x = 2w + 3b \tag{2} x=2w+3b(2)
y = 2 b + 1 (3) y = 2b + 1 \tag{3} y=2b+1(3)
计算图如图下。
注意这里 x , y , z x,y,z x,y,z 不是变量，只是中间计算结果； w , b w,b w,b 才是变量。因为在后面要学习的神经网络中，要最终求解的目标是 w w w 和 b b b 的值，所以在这里先预热一下。
当 w = 3 , b = 4 w = 3, b = 4 w=3,b=4 时，会得到如下图的结果。
最终的 z z z 值，受到了前面很多因素的影响：变量 w w w，变量 b b b，计算式 x x x，计算式 y y y。
3.2 反向传播求解 w w w
求 w w w 的偏导
目前 z = 162 z=162 z=162，如果想让 z z z 变小一些，比如目标是 z = 150 z=150 z=150， w w w 应该如何变化呢？为了简化问题，先只考虑改变 w w w 的值，而令 b b b 值固定为 4 4 4。
如果想解决这个问题，最笨的办法是可以在输入端一点一点的试，把 w w w 变成 3.5 3.5 3.5 试试，再变成 3 3 3 试试…直到满意为止。现在我们将要学习一个更好的解决办法：反向传播。
从 z z z 开始一层一层向回看，图中各节点关于变量 w w w 的偏导计算结果如下：
因为 z = x ⋅ y z = x \cdot y z=x⋅y，其中 x = 2 w + 3 b , y = 2 b + 1 x = 2w + 3b, y = 2b + 1 x=2w+3b,y=2b+1
所以：
∂ z ∂ w = ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ w = y ⋅ 2 = 18 (4) \frac{\partial{z}}{\partial{w}}=\frac{\partial{z}}{\partial{x}} \cdot \frac{\partial{x}}{\partial{w}}=y \cdot 2=18 \tag{4} ∂w∂z=∂x∂z⋅∂w∂x=y⋅2=18(4)
其中：
∂ z ∂ x = ∂ ∂ x ( x ⋅ y ) = y = 9 \frac{\partial{z}}{\partial{x}}=\frac{\partial{}}{\partial{x}}(x \cdot y)=y=9 ∂x∂z=∂x∂(x⋅y)=y=9
∂
x
∂
w
=
∂
∂
w
(
2
w
+
3
b
)
=
2
\frac{\partial{x}}{\partial{w}}=\frac{\partial{}}{\partial{w}}(2w+3b)=2
∂w∂x=∂w∂(2w+3b)=2
对
w
w
w 的偏导求解过程如下
图中其实就是链式法则的具体表现， z z z 的误差通过中间的 x x x 传递到 w w w。如果不是用链式法则，而是直接用 z z z 的表达式计算对 w w w 的偏导数，会怎么样呢？我们来试验一下。
根据公式1、2、3，我们有：
z = x ⋅ y = ( 2 w + 3 b ) ( 2 b + 1 ) = 4 w b + 2 w + 6 b 2 + 3 b (5) z=x \cdot y=(2w+3b)(2b+1)=4wb+2w+6b^2+3b \tag{5} z=x⋅y=(2w+3b)(2b+1)=4wb+2w+6b2+3b(5)
对上式求 w w w 的偏导：
∂ z ∂ w = 4 b + 2 = 4 ⋅ 4 + 2 = 18 (6) \frac{\partial z}{\partial w}=4b+2=4 \cdot 4 + 2=18 \tag{6} ∂w∂z=4b+2=4⋅4+2=18(6)
公式4和公式6的结果完全一致！所以，请大家相信链式法则的科学性。
求 w w w 的具体变化值
公式4和公式6的含义是：当 w w w 变化一点点时， z z z 会产生 w w w 的变化值18倍的变化。记住我们的目标是让 z = 150 z=150 z=150，目前在初始状态时是 z = 162 z=162 z=162，所以，问题转化为：当需要 z z z 从 162 162 162 变到 150 150 150 时， w w w 需要变化多少？
既然：
Δ z = 18 ⋅ Δ w \Delta z = 18 \cdot \Delta w Δz=18⋅Δw
则：
Δ w = Δ z 18 = 162 − 150 18 = 0.6667 \Delta w = {\Delta z \over 18}=\frac{162-150}{18}= 0.6667 Δw=18Δz=18162−150=0.6667
所以：
w
=
w
−
0.6667
=
2.3333
w = w - 0.6667=2.3333
w=w−0.6667=2.3333
x
=
2
w
+
3
b
=
16.6667
x=2w+3b=16.6667
x=2w+3b=16.6667
z
=
x
⋅
y
=
16.6667
×
9
=
150.0003
z=x \cdot y=16.6667 \times 9=150.0003
z=x⋅y=16.6667×9=150.0003
我们一下子就成功地让 z z z 值变成了 150.0003 150.0003 150.0003，与 150 150 150 的目标非常地接近，这就是偏导数的威力所在。
3.3 反向传播求解 b b b
求 b b b 的偏导
这次我们令 w w w 的值固定为 3 3 3，变化 b b b 的值，目标还是让 z = 150 z=150 z=150。同上一小节一样，先求 b b b 的偏导数。
注意，在上一小节中，求 w w w 的导数只经过了一条路：从 z z z 到 x x x 到 w w w。但是求 b b b 的导数时要经过两条路，如图2-7所示：
- 从 z z z 到 x x x 到 b b b；
- 从 z z z 到 y y y 到 b b b。
对b的偏导求解过程如下
从复合导数公式来看，这两者应该是相加的关系，所以有：
∂ z ∂ b = ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ b + ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ b = y ⋅ 3 + x ⋅ 2 = 63 (7) \frac{\partial{z}}{\partial{b}}=\frac{\partial{z}}{\partial{x}} \cdot \frac{\partial{x}}{\partial{b}}+\frac{\partial{z}}{\partial{y}}\cdot\frac{\partial{y}}{\partial{b}}=y \cdot 3+x \cdot 2=63 \tag{7} ∂b∂z=∂x∂z⋅∂b∂x+∂y∂z⋅∂b∂y=y⋅3+x⋅2=63(7)
其中：
∂
z
∂
x
=
∂
∂
x
(
x
⋅
y
)
=
y
=
9
\frac{\partial{z}}{\partial{x}}=\frac{\partial{}}{\partial{x}}(x \cdot y)=y=9
∂x∂z=∂x∂(x⋅y)=y=9
∂
z
∂
y
=
∂
∂
y
(
x
⋅
y
)
=
x
=
18
\frac{\partial{z}}{\partial{y}}=\frac{\partial{}}{\partial{y}}(x \cdot y)=x=18
∂y∂z=∂y∂(x⋅y)=x=18
∂
x
∂
b
=
∂
∂
b
(
2
w
+
3
b
)
=
3
\frac{\partial{x}}{\partial{b}}=\frac{\partial{}}{\partial{b}}(2w+3b)=3
∂b∂x=∂b∂(2w+3b)=3
∂
y
∂
b
=
∂
∂
b
(
2
b
+
1
)
=
2
\frac{\partial{y}}{\partial{b}}=\frac{\partial{}}{\partial{b}}(2b+1)=2
∂b∂y=∂b∂(2b+1)=2
我们不妨再验证一下链式求导的正确性。把公式5再拿过来：
z = x ⋅ y = ( 2 w + 3 b ) ( 2 b + 1 ) = 4 w b + 2 w + 6 b 2 + 3 b (5) z=x \cdot y=(2w+3b)(2b+1)=4wb+2w+6b^2+3b \tag{5} z=x⋅y=(2w+3b)(2b+1)=4wb+2w+6b2+3b(5)
对上式求b的偏导：
∂ z ∂ b = 4 w + 12 b + 3 = 12 + 48 + 3 = 63 (8) \frac{\partial z}{\partial b}=4w+12b+3=12+48+3=63 \tag{8} ∂b∂z=4w+12b+3=12+48+3=63(8)
结果和公式7的链式法则一样。
求 b b b 的具体变化值
公式7和公式8的含义是：当 b b b 变化一点点时， z z z 会发生 b b b 的变化值 63 63 63 倍的变化。记住我们的目标是让 z = 150 z=150 z=150，目前在初始状态时是 162 162 162，所以，问题转化为：当我们需要 z z z 从 162 162 162 变到 150 150 150 时， b b b 需要变化多少？
既然：
Δ z = 63 ⋅ Δ b \Delta z = 63 \cdot \Delta b Δz=63⋅Δb
则：
Δ b = Δ z 63 = 162 − 150 63 = 0.1905 \Delta b = \frac{\Delta z}{63}=\frac{162-150}{63}=0.1905 Δb=63Δz=63162−150=0.1905
所以：
b
=
b
−
0.1905
=
3.8095
b=b-0.1905=3.8095
b=b−0.1905=3.8095
x
=
2
w
+
3
b
=
17.4285
x=2w+3b=17.4285
x=2w+3b=17.4285
y
=
2
b
+
1
=
8.619
y=2b+1=8.619
y=2b+1=8.619
z
=
x
⋅
y
=
17.4285
×
8.619
=
150.2162
z=x \cdot y=17.4285 \times 8.619=150.2162
z=x⋅y=17.4285×8.619=150.2162
这个结果也是与
150
150
150 很接近了，但是精度还不够。再迭代几次，直到误差不大于 1e-4 时，我们就可以结束迭代了，对于计算机来说，这些运算的执行速度很快。
4、 梯度下降
4.1 从自然现象中理解梯度下降
在大多数文章中，都以“一个人被困在山上，需要迅速下到谷底”来举例，这个人会“寻找当前所处位置最陡峭的地方向下走”。这个例子中忽略了安全因素，这个人不可能沿着最陡峭的方向走，要考虑坡度。
在自然界中，梯度下降的最好例子，就是泉水下山的过程：
- 水受重力影响，会在当前位置，沿着最陡峭的方向流动，有时会形成瀑布（梯度下降）；
- 水流下山的路径不是唯一的，在同一个地点，有可能有多个位置具有同样的陡峭程度，而造成了分流（可以得到多个解）；
- 遇到坑洼地区，有可能形成湖泊，而终止下山过程（不能得到全局最优解，而是局部最优解）。
4.2 梯度下降的数学理解
梯度下降的数学公式：
θ n + 1 = θ n − η ⋅ ∇ J ( θ ) (1) \theta_{n+1} = \theta_{n} - \eta \cdot \nabla J(\theta) \tag{1} θn+1=θn−η⋅∇J(θ)(1)
其中：
- θ n + 1 \theta_{n+1} θn+1：下一个值；
- θ n \theta_n θn：当前值；
- − - −：减号，梯度的反向；
- η \eta η：学习率或步长，控制每一步走的距离，不要太快以免错过了最佳景点，不要太慢以免时间太长；
- ∇ \nabla ∇：梯度，函数当前位置的最快上升点；
- J ( θ ) J(\theta) J(θ)：函数。
梯度下降的三要素
- 当前点；
- 方向；
- 步长。
为什么说是“梯度下降”？
“梯度下降”包含了两层含义：
- 梯度：函数当前位置的最快上升点；
- 下降：与导数相反的方向，用数学语言描述就是那个减号。
5、损失函数
5.1 概念
在各种材料中经常看到的中英文词汇有：误差，偏差，Error，Cost，Loss，损失，代价…意思都差不多，在本书中，使用“损失函数”和“Loss Function”这两个词汇，具体的损失函数符号用 J J J 来表示，误差值用 l o s s loss loss 表示。
“损失”就是所有样本的“误差”的总和，亦即（ m m m 为样本数）：
损 失 = ∑ i = 1 m 误 差 i 损失 = \sum^m_{i=1}误差_i 损失=i=1∑m误差i
J = ∑ i = 1 m l o s s i J = \sum_{i=1}^m loss_i J=i=1∑mlossi
5.2损失函数的作用
损失函数的作用，就是计算神经网络每次迭代的前向计算结果与真实值的差距，从而指导下一步的训练向正确的方向进行。
如何使用损失函数呢？具体步骤：
- 用随机值初始化前向计算公式的参数；
- 代入样本，计算输出的预测值；
- 用损失函数计算预测值和标签值（真实值）的误差；
- 根据损失函数的导数，沿梯度最小方向将误差回传，修正前向计算公式中的各个权重值；
- 进入第2步重复, 直到损失函数值达到一个满意的值就停止迭代。
5.3 机器学习常用损失函数
符号规则： a a a 是预测值， y y y 是样本标签值， l o s s loss loss 是损失函数值。
-
Gold Standard Loss，又称0-1误差
l o s s = { 0 a = y 1 a ≠ y loss=\begin{cases} 0 & a=y \\\\ 1 & a \ne y \end{cases} loss=⎩⎪⎨⎪⎧01a=ya=y -
绝对值损失函数
l o s s = ∣ y − a ∣ loss = |y-a| loss=∣y−a∣
- Hinge Loss，铰链/折页损失函数或最大边界损失函数，主要用于SVM（支持向量机）中
l o s s = max ( 0 , 1 − y ⋅ a ) y = ± 1 loss=\max(0,1-y \cdot a) \qquad y=\pm 1 loss=max(0,1−y⋅a)y=±1
- Log Loss，对数损失函数，又叫交叉熵损失函数(cross entropy error)
l o s s = − [ y ⋅ ln ( a ) + ( 1 − y ) ⋅ ln ( 1 − a ) ] y ∈ 0 , 1 loss = -[y \cdot \ln (a) + (1-y) \cdot \ln (1-a)] \qquad y \in \\{ 0,1 \\} loss=−[y⋅ln(a)+(1−y)⋅ln(1−a)]y∈0,1
-
Squared Loss，均方差损失函数
l o s s = ( a − y ) 2 loss=(a-y)^2 loss=(a−y)2 -
Exponential Loss，指数损失函数
l o s s = e − ( y ⋅ a ) loss = e^{-(y \cdot a)} loss=e−(y⋅a)
5.4 神经网络中常用的损失函数
（1）均方差函数，主要用于回归
均方差函数
该函数就是最直观的一个损失函数了，计算预测值和真实值之间的欧式距离。预测值和真实值越接近，两者的均方差就越小。
均方差函数常用于线性回归(linear regression)，即函数拟合(function fitting)。公式如下：
l o s s = 1 2 ( z − y ) 2 (单样本) loss = {1 \over 2}(z-y)^2 \tag{单样本} loss=21(z−y)2(单样本)
J = 1 2 m ∑ i = 1 m ( z i − y i ) 2 (多样本) J=\frac{1}{2m} \sum_{i=1}^m (z_i-y_i)^2 \tag{多样本} J=2m1i=1∑m(zi−yi)2(多样本)
（2）交叉熵函数，主要用于分类
交叉熵（Cross Entropy）是Shannon信息论中一个重要概念，主要用于度量两个概率分布间的差异性信息。在信息论中，交叉熵是表示两个概率分布
p
,
q
p,q
p,q 的差异，其中
p
p
p 表示真实分布，
q
q
q 表示预测分布，那么
H
(
p
,
q
)
H(p,q)
H(p,q) 就称为交叉熵：
H ( p , q ) = ∑ i p i ⋅ ln 1 q i = − ∑ i p i ln q i (1) H(p,q)=\sum_i p_i \cdot \ln {1 \over q_i} = - \sum_i p_i \ln q_i \tag{1} H(p,q)=i∑pi⋅lnqi1=−i∑pilnqi(1)
交叉熵可在神经网络中作为损失函数， p p p 表示真实标记的分布， q q q 则为训练后的模型的预测标记分布，交叉熵损失函数可以衡量 p p p 与 q q q 的相似性。
心得体会：通过别的资料稍加整理写的，如果文章有幸被你看到，希望对你有所帮助。“纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行”。许多公式建议读者手写推导，已便加深理解。