极限与余极限
极限与余极限的概念是反向极限和正向极限概念的扩展。设\(\mathcal{I}\)是指标范畴，\(i \to A_i\)是\(\mathcal{I} \to \mathcal{C}\)的函子，\(A_i\)的极限\(L = \lim A_i\)是满足如下条件的对象：设\(i<j\)
- 对任意\(\phi_{ij}: A_j \to A_i\)，都存在\(\psi_i: L \to A_i\)和\(\psi_j: L \to A_j\)都有\(\phi_{ij}\circ \psi_j = \psi_i\)
- 对任意满足1.的对象\(L'\)，存在唯一的态射\(u: L' \to L\)
反过来，\(A_i\)的余极限\(C = \lim A_i\)是和极限对偶的对象：设\(i<j\)
- 对任意\(\phi_{ij}: A_i \to A_j\)，都存在\(\psi_i: A_i\to C\)和\(\psi_j: A_j\to C\)都有\(\psi_j\circ \phi_{ij} = \psi_i\)
- 对任意满足1.的对象\(C'\)，存在唯一的态射\(v: C \to C'\)
极限与余极限一个重要的性质就是它和伴随函子可以交换。设\(L, R\)分别是左右伴随函子，则有
\[L(\text{colim} X_i) \cong \text{colim} L(X_i) \] \[R(\lim X_i) \cong \lim R(X_i) \]米田乘积
我们知道\(\text{Hom}\)函子可以做复合运算
从而这个复合运算可以诱导出Ext函子的双积，称为米田乘积。
\[\text{Ext}^m(B, A) \times \text{Ext}^n(C, B) \cong \text{Ext}^{m+n}(C, A) \]利用对称性，我们还可以得到当\(n\geq m\)时
\[\text{Ext}^m(B, A) \times \text{Tor}_n(C, B) \cong \text{Tor}_{n-m}(C, A) \]注意，米田乘积源于\(\text{Hom}(A, B)\)的复合，因此对于Tor函子我们并没有类似结论。
Mitchell嵌入定理
图追踪是同调代数的主要证明技术，那么为什么可以使用图追踪呢？Mitchell嵌入定理告诉我们关于阿贝尔范畴的重要事实：
如果\(\mathcal{C}\)是小的阿贝尔范畴，那么存在正合的忠实满函子\(F: \mathcal{C} \to 左R模\)。
然而我们知道模范畴和交换群范畴都不是小范畴，因此还要再使用以下定理：
如果\(\mathcal{C}\)是阿贝尔范畴，\(S\)是\(\mathcal{C}\)中对象的集合，那么存在一个小的满子范畴\(\mathcal{C}(S)\)满足\(S\subset \mathcal{C}(S)\)，它是阿贝尔子范畴。
证明方法非常简单，考虑嵌入函子\(I: \mathcal{C}(S) \to \mathcal{C}\)，它是一个正合函子，因此\(\mathcal{C}(S)\)是阿贝尔子范畴。
这两个定理告诉我们：当我们在使用图追踪时，我们的结论不仅适用于左模，而且可以推广到所有阿贝尔范畴。