网络流24题（七）

2023-12-26 16:47:57

网络流24题(七)

七、试题库问题

题目描述

问题描述：

假设一个试题库中有 $n$ 道试题。每道试题都标明了所属类别。同一道题可能有多个类别属性。现要从题库中抽取 $m$ 道题组成试卷。并要求试卷包含指定类型的试题。试设计一个满足要求的组卷算法。

编程任务：

对于给定的组卷要求，计算满足要求的组卷方案。

输入格式

第一行有两个正整数 $k$ 和 $n$。$k$ 表示题库中试题类型总数，$n$ 表示题库中试题总数。

第二行有 $k$ 个正整数，第 i$$ 个正整数表示要选出的类型 $i$ 的题数。这 $k$ 个数相加就是要选出的总题数 $m$。

接下来的 $n$ 行给出了题库中每个试题的类型信息。每行的第一个正整数 $p$ 表明该题可以属于 $p$ 类，接着的 $p$ 个数是该题所属的类型号。

输出格式

输出共 $k$ 行，第 $i$ 行输出 i: 后接类型 $i$ 的题号。
如果有多个满足要求的方案，只要输出一个方案。
如果问题无解，则输出No Solution!。

题解

模型：

最大流，二分图匹配

建图与实现：

和二分图匹配差不多，不一样的仅仅只有右集合($k$集合)，这个集合与汇点连接的时候边的容量不再是1而是题目给出的常数。$wa$了一发是因为前向星为空的时候不会直接跳过，要特判一下。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll int

const ll N = 2050,M = 2e5+5,inf = 0x3f3f3f3f;
ll head[N],cnt = 1;
struct Edge{ll to,w,nxt;}edge[M];
void add(ll u,ll v,ll w){
    edge[++cnt].to = v;
    edge[cnt].w = w;
    edge[cnt].nxt = head[u];
    head[u] = cnt;
}
ll n,m = 0,k,s,t,lv[N],cur[N];
bool bfs(){
    memset(lv, -1, sizeof(lv));
    lv[s] = 0;
    memcpy(cur, head, sizeof(head));
    queue<int> q;q.push(s);
    while (!q.empty()){
        int p = q.front();q.pop();
        for (ll eg = head[p]; eg; eg = edge[eg].nxt){
            ll to = edge[eg].to, vol = edge[eg].w;
            if (vol > 0 && lv[to] == -1)lv[to] = lv[p] + 1, q.push(to);
        }
    }
    return lv[t] != -1;
}
ll dfs(ll p = s, ll flow = inf){
    if (p == t)return flow;
    ll rmn = flow;
    for (ll &eg = cur[p]; eg; eg = edge[eg].nxt){
        if (!rmn)break;
        ll to = edge[eg].to, vol = edge[eg].w;
        if (vol > 0 && lv[to] == lv[p] + 1){
            ll c = dfs(to, min(vol, rmn));
            rmn -= c;
            edge[eg].w -= c;
            edge[eg ^ 1].w += c;
        }
    }
    return flow - rmn;
}
ll dinic(){
    ll ans = 0;
    while(bfs()) ans += dfs();
    return ans;
}
ll num[N];
vector<ll> vec[N];
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>k>>n;
    for(ll i = 1;i <= k;i++)cin>>num[i],m+=num[i];
    for(ll i = 1;i <= n;i++){
        ll p;cin>>p;
        while(p--){
            ll x;cin>>x;
            add(x,i+k,1);
            add(i+k,x,0);
        }
    }
    s = 0,t = n+k+1;
    for(ll i = 1;i <= k;i++){
        add(s,i,num[i]);
        add(i,s,0);
    }
    for(ll i = k+1;i <= k+n;i++){
        add(i,t,1);
        add(t,i,0);
    }
    ll flow = dinic();
    if(flow == m){
        for(ll i = 1;i <= k;i++){
            cout<<i<<": ";
            for(ll j = head[i];j;j = edge[j].nxt){
                if(edge[j].to == 0) continue;
                if(edge[j].w == 0)
                cout<<edge[j].to-k<<' ';
            }
            cout<<endl;
        }
    }else puts("No Solution!");
    return 0;
}

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