在太空中有n个半径相等的球形星球，如果一个星球表面的某个区域不能被其他任何一个星球所看见，我们就称这个区域是“隐秘的”。证明：所有这些隐秘的区域的面积之和等于一个星球的表面积。

 

 

 

 

证明：

可将这些球形星球看作点，隐秘的区域可用角度来表示，所以本题要证明的可等价为隐秘区域角度之和等于360°。用符号*代表隐秘区域。

 

上图为n=3时，易知A的*=180°-∠BAC，同理可知····，所以总的角度=540-180=360。此外，如果某一点在两点之间，则该点没有隐秘区域。

下面证明平面上的n个点，一定能找到m（m<=n）个点，使得除了这m个点的其他点，都在这m个构成的凸多边形内。

在N个点中任选一点A，令B点是距离A点最远的点。连接AB，令l垂直于AB且过B，则所有点必然在 l 的同侧。以l 为旋转轴绕点B顺（逆）时针旋转直至碰到一个点，将该点命名为n1，再以直线n1-B为旋转轴绕n1顺（逆）时针旋转直至碰到一个点，将该点命名为n2。再以直线n2-n1为旋转轴绕n2顺（逆）时针旋转直至碰到一个点，将该点命名为n3。按照此方式，直至碰到的点为B。则B、n1······nn构成的图形是凸多边形，且除了B、n1······nn的其他点，都在这个凸多边形内（可用反证法证明，不赘述了）。

再证明三角形内部的一点，该点没有隐秘区域。

 

B对D贡献了180°的光明区。令A对D贡献的光明区除去与B对D光明区重叠的部分为M，M为∠GDE对应的部分，易知∠GDE=∠ADB。令C对D贡献的光明区除去与B对D光明区重叠的部分为K，则K为∠HDF对应的部分，∠HDF=∠CDB。由于∠CDA小于180°，所以∠HDF+∠GDE＞180°。所以D没有隐秘区，得证。

由于凸多边形可以看作由n个三角形组合而成的，所以凸多边形内部的点都没有隐秘区。所以本问题转化为证明凸多边形的各点的隐秘区角度之和为360°。

下面用归纳法证明。假设n-1个点的凸多边形的隐秘区角度和为360°。将新加上的第n个点命名为Z。则一定可以找到一条过Z的直线Q，其他的点都在该线的一侧。令Q绕Z顺、逆时针旋转碰到的第一个点分别为W、R，则WZ、RZ必然是新凸多边形的两条边，其他所有点都在∠WZR内部，所以除去Z其他所有点对Z产生的隐秘区与W、R点对Z产生的隐秘区相同。同样，对于除去WZR的其他任一点P，Z都在∠WPR内（可用反证法证明），所以WZR对P产生的隐秘区与WR对P产生的隐秘区相同。所以在加上Z点后，只有WZR三点的隐秘区发生变化。

易知加上Z后，W的隐秘区减小角度为∠RWZ，R的隐秘区减小角度为∠WRZ。Z的隐秘区角度为180°-∠WZR。所以得到的新的n个点的凸多边形的隐秘区角度=360-∠RWZ-∠WRZ+180°-∠WZR=360°。证毕。