CF 984C Finite or not? （数论）

给定T（T<=1e5）组数据，每组数据给出十进制表示下的整数p,q,b，求问p/q在b进制意义下是否是有限小数。

首先我们先把p/q约分一下。类比一下b=10的情况，我们发现约分后，只有当q的因数仅有2的倍数和5的倍数时，p/q才是有限小数。于是这启发我们猜结论：仅当q的质因数集合包含在b的质因数集合内时，p/q在b进制下才是有限小数。

那么现在问题就被转换为了：已知两数q，b，问q的质因数集合是否完全包含在b的中。

设\(b=p_1^{k_1}p_2^{k_2}...p_n^{k_n}*C\)，\(q=p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_n^{c_n}*D\)，且\(\{p_i,\ i\le n\}\)是q与b个数最多的共同质因数集合。那么我们要想办法把q中的\(p_i\)给去掉，使q只剩下D。由于\(k_i>0\)，\(c_i>0\)，那么设\(b'=(b, q)\)，那么不停将\(b'\)除\(q\)得到\(q'\)，最后剩下的数就是D。现在只需判断D是否为1即可。

#include <cstdio>

using namespace std;

typedef long long LL;

LL T, p, q, b;

LL gcd(LL x, LL y){ return y?gcd(y, x%y):x; }

int main(){

    scanf("%lld", &T); LL t;

    while (T--){

        scanf("%lld%lld%lld", &p, &q, &b);

        t=gcd(p, q); p/=t; q/=t;

        //现在问题转化为求q的质因数集合是否被包含在b的内

        b=gcd(q, b); LL lq=0;

        while (q!=lq){

            lq=q;

            q/=gcd(q, b);

        }

        if (q==1) puts("Finite"); else puts("Infinite");

    }

    return 0;

}