这什么树?
自然界中的二叉树
下面我们一起来看看这个树究竟是咋回事
目录
一、树
1.相关概念
1.树的概念
树是一种非线性的数据结构,它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看 起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。
它的特点(可以结合下图一起思考):
①有一个特殊的结点,称为根结点,根结点没有前驱结点
②除根结点外,其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm,其中每一个集合 Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱,可以有0个或多个后继
③树是递归定义的。
2.结点的度:一个结点含有的子树的个数; (如上图,A的结点的度为:3)
3.树的度:一棵树中,所有结点度的最大值称为树的度;(如上图,树的度为:3)
4.叶子结点(终端结点):度为0的结点;(如上图,J,F,K,L,H,I均为叶子结点)
5.双亲结点(父结点):若一个结点含有子结点,则这个结点称为其子结点的父结点;(如 上图,A是B,C,D的双亲结点)
6.孩子结点(子结点):一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点;(如上图, B,C,D是A的孩子结点)
7.根结点:一棵树中,没有双亲结点的结点;(如上图,A)
8.结点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子结点为第2层,以此类推(如上图,B 所在的层次为2)
9.树的高度(深度):树中结点的最大层次; (如上图,树的高度为4)
2.树的表示形式
树结构相对线性表就比较复杂了,要存储表示起来就比较麻烦了,实际中树有很多种表示方式,如:双亲表示法, 孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。
class Node { int value; // 树中存储的数据 Node firstChild; // 第一个孩子引用 Node nextBrother; // 下一个兄弟引用 }
结构图如下图示意:
二、二叉树
1.概念
二叉树:一棵二叉树是结点的一个有限集合,该集合:① 或为空
②.或是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
特点:①二叉树中任何结点的度不超过2
②二叉树是有序树,有左右子树之分(如上图分别可知该二叉树的左子树和右子树)
③任意二叉树的五种情况示意图
2. 两种特殊的二叉树
① 满二叉树: 一棵二叉树,如果每层的结点数都达到最大值,则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说,如果一棵 二叉树的层数为K,且结点总数是 ,则它就是满二叉树。
② 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的,有n 个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完 全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树
3. 二叉树的性质(重要!)
以下性质均可以通过画图来进行推导:
①若规定根结点的层数为1,则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i-1)(i>0)个结点
②若规定只有根结点的二叉树的深度为1,则深度为K的二叉树的最大结点数是2^k-1 (k>=0)
③对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0=n2+1
④具有n个结点的完全二叉树的深度k为 log2(n+1)【以2为底,n+1的对数】上取整
⑤对于具有n个结点的完全二叉树,如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号,则对于序号为i 的结点有: 若i>0,双亲序号:(i-1)/2;i=0,i为根结点编号,无双亲结点 若2i+1
4.二叉树的存储
二叉树存储的分类:顺序存储和类似于链表的链式存储。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的,常见的表示方式有二叉和三叉表示方式,
二叉表示法:
/ 孩子表示法 class Node { int val; // 数据域 Node left; // 左孩子的引用,常常代表左孩子为根的整棵左子树 Node right; // 右孩子的引用,常常代表右孩子为根的整棵右子树 }
三叉表示法:
class Node { int val; // 数据域 Node left; // 左孩子的引用,常常代表左孩子为根的整棵左子树 Node right; // 右孩子的引用,常常代表右孩子为根的整棵右子树 Node parent; // 当前节点的根节点 }
① 前置说明
创建一棵简单的二叉树,快速进入二叉树操作学习(此处并不是二叉数真正的创建方式,其真正创造方式将在后续讲述,此处目的是为了便于大家更好地理解掌握)
//二叉树是用每个结点构成的,写一个结点的类来专门进行存放 class BTNode{ public char val; public BTNode left;//对于左孩子的引用 public BTNode right;//对于右孩子的引用 public BTNode(char val){ this.val=val; } } public class BinaryTree { public BTNode root;//属于二叉树的根,而不是节点的根,因此不写到上面的类 public BTNode createTree(){ BTNode A=new BTNode('A'); BTNode B=new BTNode('B'); BTNode C=new BTNode('C'); BTNode D=new BTNode('D'); BTNode E=new BTNode('E'); BTNode F=new BTNode('F'); BTNode G=new BTNode('G'); BTNode H=new BTNode('H'); A.left=B; A.right=C; B.left=D; B.right=E; C.left=F; C.right=G; E.right=H; return A;//因为A为根 } }
②二叉树的遍历(重点!)
(1)前中后序遍历
a.遍历的原理: 是指沿着某条搜索路线,依次对树中每个结 点均做一次且仅做一次访问。
b.遍历的方法:通过递归来进行遍历
c.遍历的示意图:
d.详细说明:
①前序遍历:
// 前序遍历 //先根 再左 再右 void preOrder(BTNode root){ if(root==null) return ; System.out.println(root.val+" "); preOrder(root.left); preOrder(root.right); }
②中序遍历:
// 中序遍历 void inOrder(BTNode root){ if(root==null) return ; inOrder(root.left); System.out.println(root.val+" "); inOrder(root.right); }
③后序遍历:
// 后序遍历 void postOrde(BTNode root){ if(root==null) return ; postOrde(root.left); System.out.println(root.val+" "); postOrde(root.right); }
(2)层序遍历
①概念:设二叉树的根节点所在 层数为1,层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发,首先访问第一层的树根节点,然后从左到右访问第2层 上的节点,接着是第三层的节点,以此类推,自上而下,自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历
②示例: