数据结构java版之二叉树(基础知识篇)

数据结构java版之二叉树(基础知识篇)

这什么树?

            自然界中的二叉树 

下面我们一起来看看这个树究竟是咋回事

目录

一、树

1.相关概念

2.树的表示形式

二、二叉树

1.概念

2. 两种特殊的二叉树

3. 二叉树的性质

4.二叉树的存储

5.二叉树的基本操作

① 前置说明

②二叉树的遍历

(1)前中后序遍历

(2)层序遍历


一、树

1.相关概念

1.树的概念

树是一种非线性的数据结构,它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看 起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。

它的特点(可以结合下图一起思考):

①有一个特殊的结点,称为根结点,根结点没有前驱结点

②除根结点外,其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm,其中每一个集合 Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱,可以有0个或多个后继

③树是递归定义的。

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2.结点的度:一个结点含有的子树的个数; (如上图,A的结点的度为:3)

3.树的度:一棵树中,所有结点度的最大值称为树的度;(如上图,树的度为:3)

4.叶子结点(终端结点):度为0的结点;(如上图,J,F,K,L,H,I均为叶子结点)

5.双亲结点(父结点):若一个结点含有子结点,则这个结点称为其子结点的父结点;(如                                         上图,A是B,C,D的双亲结点) 

6.孩子结点(子结点):一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点;(如上图,                                             B,C,D是A的孩子结点)

7.根结点:一棵树中,没有双亲结点的结点;(如上图,A)

8.结点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子结点为第2层,以此类推(如上图,B                             所在的层次为2) 

9.树的高度(深度):树中结点的最大层次; (如上图,树的高度为4)

2.树的表示形式

   树结构相对线性表就比较复杂了,要存储表示起来就比较麻烦了,实际中树有很多种表示方式,如:双亲表示法, 孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

class Node {
int value; // 树中存储的数据
Node firstChild; // 第一个孩子引用
Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

结构图如下图示意:

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二、二叉树

1.概念

   二叉树:一棵二叉树是结点的一个有限集合,该集合:① 或为空

                 ②.或是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。 

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特点:①二叉树中任何结点的度不超过2

           ②二叉树是有序树,有左右子树之分(如上图分别可知该二叉树的左子树和右子树)

           ③任意二叉树的五种情况示意图

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 2. 两种特殊的二叉树

① 满二叉树: 一棵二叉树,如果每层的结点数都达到最大值,则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说,如果一棵 二叉树的层数为K,且结点总数是 ,则它就是满二叉树。

② 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的,有n 个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完 全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树

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 3. 二叉树的性质(重要!)

以下性质均可以通过画图来进行推导:

①若规定根结点的层数为1,则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i-1)(i>0)个结点

②若规定只有根结点的二叉树的深度为1,则深度为K的二叉树的最大结点数是2^k-1 (k>=0)

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③对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0=n2+1

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④具有n个结点的完全二叉树的深度k为 log2(n+1)【以2为底,n+1的对数】上取整 

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⑤对于具有n个结点的完全二叉树,如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号,则对于序号为i 的结点有: 若i>0,双亲序号:(i-1)/2;i=0,i为根结点编号,无双亲结点 若2i+1

4.二叉树的存储

   二叉树存储的分类:顺序存储和类似于链表的链式存储。

    二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的,常见的表示方式有二叉和三叉表示方式,

二叉表示法:

/ 孩子表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用,常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用,常常代表右孩子为根的整棵右子树
}

三叉表示法:

class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用,常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用,常常代表右孩子为根的整棵右子树
Node parent; // 当前节点的根节点
}

① 前置说明

创建一棵简单的二叉树,快速进入二叉树操作学习(此处并不是二叉数真正的创建方式,其真正创造方式将在后续讲述,此处目的是为了便于大家更好地理解掌握)

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//二叉树是用每个结点构成的,写一个结点的类来专门进行存放
class BTNode{
    public char val;
    public BTNode left;//对于左孩子的引用
    public BTNode right;//对于右孩子的引用
    public BTNode(char val){
        this.val=val;
    }
}
public class BinaryTree {
    public BTNode root;//属于二叉树的根,而不是节点的根,因此不写到上面的类
    public BTNode createTree(){
        BTNode A=new BTNode('A');
        BTNode B=new BTNode('B');
        BTNode C=new BTNode('C');
        BTNode D=new BTNode('D');
        BTNode E=new BTNode('E');
        BTNode F=new BTNode('F');
        BTNode G=new BTNode('G');
        BTNode H=new BTNode('H');
        A.left=B;
        A.right=C;
        B.left=D;
        B.right=E;
        C.left=F;
        C.right=G;
        E.right=H;
        return A;//因为A为根
    }

}

 ②二叉树的遍历(重点!)

(1)前中后序遍历

 a.遍历的原理: 是指沿着某条搜索路线,依次对树中每个结 点均做一次且仅做一次访问。

b.遍历的方法:通过递归来进行遍历

c.遍历的示意图: 

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d.详细说明:

①前序遍历:

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  // 前序遍历
    //先根   再左     再右
    void preOrder(BTNode root){
        if(root==null) return ;
        System.out.println(root.val+" ");
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }

②中序遍历:

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 // 中序遍历
    void inOrder(BTNode root){
        if(root==null) return ;
        inOrder(root.left);
        System.out.println(root.val+" ");
        inOrder(root.right);
    }

③后序遍历:

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// 后序遍历
    void postOrde(BTNode root){
        if(root==null) return ;
        postOrde(root.left);
        System.out.println(root.val+" ");
        postOrde(root.right);
    }

(2)层序遍历

①概念:设二叉树的根节点所在 层数为1,层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发,首先访问第一层的树根节点,然后从左到右访问第2层 上的节点,接着是第三层的节点,以此类推,自上而下,自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历

②示例: 

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