bzoj2884 albus就是要第一个出场

2022-08-06 19:04:58

Description

已知一个长度为n的正整数序列A（下标从1开始），令 S = { x | 1 <= x <= n }, S 的幂集2^S定义为S 所有子集构成的集合。定义映射 f : 2^S -> Zf(空集) = 0f(T) = XOR A[t] , 对于一切t属于T现在albus把2^S中每个集合的f值计算出来，从小到大排成一行，记为序列B（下标从1开始）。给定一个数，那么这个数在序列B中第1次出现时的下标是多少呢？

Input

第一行一个数n, 为序列A的长度。接下来一行n个数，为序列A，用空格隔开。最后一个数Q，为给定的数.

Output

共一行，一个整数，为Q在序列B中第一次出现时的下标模10086的值.

Sample Input

3
1 2 3
1

Sample Output

3
样例解释：
N = 3, A = [1 2 3]
S = {1, 2, 3}
2^S = {空, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
f(空) = 0
f({1}) = 1
f({2}) = 2
f({3}) = 3
f({1, 2}) = 1 xor 2 = 3
f({1, 3}) = 1 xor 3 = 2
f({2, 3}) = 2 xor 3 = 1
f({1, 2, 3}) = 0
所以
B = [0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3]

HINT

数据范围：
1 <= N <= 10,0000
其他所有输入均不超过10^9

正解：线性基。

题意就很绕。。给定一个序列，任意异或得到一个新的序列，并把序列排序。再给定一个Q，求Q在新序列中的排名。

然后我就不会做了。看了题解才知道线性基原来还有一个神奇的性质。

n个数的序列共有$2^{n}$种异或和，n个数的线性基共有k个数，所以n个数的线性基共有$2^{k}$种不同的异或和。神奇的是，$2^{k}$不同的异或和在$2^{n}$种异或和中出现的次数竟然相同，都是$2^{n-k}$次！

所以，我们只要算出线性基中异或和小于Q的数的个数，然后乘上$2^{n-k}$，再加上1，这个就是答案了。

 //It is made by wfj_2048~

 #include <algorithm>

 #include <iostream>

 #include <complex>

 #include <cstring>

 #include <cstdlib>

 #include <cstdio>

 #include <vector>

 #include <cmath>

 #include <queue>

 #include <stack>

 #include <map>

 #include <set>

 #define inf (1<<30)

 #define rhl (10086)

 #define N (100010)

 #define il inline

 #define RG register

 #define ll long long

 #define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)

 using namespace std;

 vector <int> Q;

 int a[N],p[],n,q,rk,cnt;

 il int gi(){

     RG int x=,q=; RG char ch=getchar(); while ((ch<'' || ch>'') && ch!='-') ch=getchar();

     if (ch=='-') q=-,ch=getchar(); while (ch>='' && ch<='') x=x*+ch-,ch=getchar(); return q*x;

 }

 il void insert(RG int x){

     for (RG int i=;i>=;--i)

     if (x&(<<i)){

         if (!p[i]){ p[i]=x; break; }

         x^=p[i];

     }

     return;

 }

 il int qpow(RG int a,RG int b){

     RG int ans=;

     while (b){

     if (b&) ans=ans*a%rhl;

     a=a*a%rhl,b>>=;

     }

     return ans;

 }

 il void work(){

     n=gi(); for (RG int i=;i<=n;++i) a[i]=gi(),insert(a[i]); q=gi();

     for (RG int i=;i<=;++i) if (p[i]) Q.push_back(i),cnt++;

     for (RG int i=;i<Q.size();++i) if (q&(<<Q[i])) rk+=<<i;

     printf("%d\n",(rk%rhl*qpow(,n-cnt)%rhl+)%rhl);

     return;

 }

 int main(){

     File("albus");

     work();

     return ;

 }

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