给出一个数组\(b\)
\(b_i\)可以等于\(a_i\),也可以等于\(\sum_{j=1}^ia_j\)
询问有多少个数组\(a\)。
对每个位置\(i\),你可以选择\(a_i=b_i\)或\(a_i=b_i-\sum_{k=1}^{i-1}a_k\)。
如果\(\sum_{k=1}^{i-1}a_k=0\),那么这两种选择构成的数组是一样的,对答案的贡献是1。
一种\(O(n^2logn)\)的做法:
定义\(f(i,j)\)是当前在第\(i\)位,前缀和是\(j\)的情况有多少种。
状态转移方程:
如果你选择\(b_i=a_i\),同时\(j \neq 0\):
\(f(i+1,j+b_i)=f(i,j)\)
如果你选择\(b_i=\sum_{k=1}^ia_k\):
\(f(i+1,b_i)=f(i,j)\)
用\(Map\)实现状态转移方程可以把时间复杂度控制在\(O(n^2logn)\)。
观察状态转移方程,就是把当前位置的所有\(j \neq 0\)的\(f(i,j)\)变成\(f(i+1,j+b_i)\),同时把所有\(f(i,j)\)加给\(f(i+1,b_i)\)。
第二步就是当前的情况数,第一步就是当前的情况数减去\(j=0\)的情况数。
合并就是:下一步的情况数=当前的情况数*2-\(j=0\)的情况数。
怎么快速计算\(j=0\)的情况数:
考虑到每一步,所有状态统一加\(b_i\),那么第二步可以转化为把所有的\(f(i,j)\)加给\(f(i+1,0)\),然后把两步的所有情况都变成\(f(i+1,j+b_i)\)。
维护一个懒惰标记,标记当前一共加了多少(即\(b\)的前缀和)。可以直接用\(lazy\)表示。
然后转移的时候,\(f(lazy)\)就表示当前\(j=0\)的情况,每次转移把\(lazy\)减\(b_i\)即可。
时间复杂度\(O(nlogn)\)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2e5+100;
const int mod=1e9+7;
int b[maxn],n,t;
map<long long,long long> f;
int main () {
scanf("%d",&t);
while (t--) {
scanf("%d",&n);
for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",b+i);
f.clear();
long long lazy=0;
long long ans=1;
f[0]=1;
for (int i=1;i<=n;i++) {
long long tt=ans;
ans=(ans*2-f[lazy]+mod)%mod;
f[lazy]=tt%mod;
lazy-=b[i];
}
ans%=mod;
printf("%lld\n",ans);
}
}