题目

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给出一棵 \(n\) 个节点的树。有 \(m\) 个询问，每一个询问包含两个数 \(a,b\)。我们可以对任意两个点连一条无向边，并且使得加上这条边后 \(a,b\) 处在一个环内。对于每一个询问，求这样的环的期望长度。
\(2\leq n,m\leq 10^5\)。

思路

如果这两个点不互为祖孙关系，答案就是

\[\frac{f[y]\times siz[x]+f[x]\times siz[y]}{siz[x]siz[y]}+dis \]

否则设 \(x\) 是 \(y\) 祖先，答案是

\[\frac{f[y](n-siz[q])+(g[x]-f[q]-siz[q])siz[y]}{(n-siz[q])siz[y]}+dis \]

其中 \(q\) 是 \(x\) 到 \(y\) 链上 \(x\) 的儿子。
时间复杂度 \(O(n)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=100010,LG=18;
int n,m,tot,head[N],dep[N],siz[N],fa[N][LG+1];
ll f[N],g[N];

struct edge
{
	int next,to;
}e[N*2];

void add(int from,int to)
{
	e[++tot]=(edge){head[from],to};
	head[from]=tot;
}

void dfs1(int x,int ff)
{
	siz[x]=1; dep[x]=dep[ff]+1;
	fa[x][0]=ff;
	for (int i=1;i<=LG;i++)
		fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
	for (int i=head[x];~i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].to;
		if (v!=ff)
		{
			dfs1(v,x);
			f[x]+=f[v]+siz[v];
			siz[x]+=siz[v];
		}
	}
}

void dfs2(int x,int fa)
{
	for (int i=head[x];~i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].to;
		if (v!=fa)
		{
			g[v]=g[x]+n-2*siz[v];
			dfs2(v,x);
		}
	}
}

int lca(int x,int y)
{
	if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
	for (int i=LG;i>=0;i--)
		if (dep[fa[x][i]]>=dep[y]) x=fa[x][i];
	if (x==y) return x;
	for (int i=LG;i>=0;i--)
		if (fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i];
	return fa[x][0];
}

int findson(int x,int y)
{
	for (int i=LG;i>=0;i--)
		if (dep[fa[y][i]]>dep[x]) y=fa[y][i];
	return y;
}

int main()
{
	memset(head,-1,sizeof(head));
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1,x,y;i<n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y); add(y,x);
	}
	dfs1(1,0);
	g[1]=f[1];
	dfs2(1,0);
	while (m--)
	{
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		int p=lca(x,y);
		ll dis=dep[x]+dep[y]-2*dep[p]+1;
		if (p==y) swap(x,y);
		if (p==x)
		{
			int q=findson(x,y);
			printf("%.12lf\n",1.0*(f[y]*(n-siz[q])+(g[x]-f[q]-siz[q])*siz[y])/(n-siz[q])/siz[y]+dis);
		}
		else
			printf("%.12lf\n",1.0*(f[y]*siz[x]+f[x]*siz[y])/siz[x]/siz[y]+dis);
	}
	return 0;
}