应用倍增的思想,主要用来解决区间最值问题,可以做到\(O(NlogN)\)预处理,\(O(1)\)查询,相比于线段树代码更短,但是不支持修改,是静态数据结构,本质就是一个动态规划。
设\(f(i,j)\)表示起点为\(i\),区间大小为\(2^j\)的最大值,即区间\([i, i + 2^j - 1]\)里的最大值,那么边界就是\(f(i,0)\),即\(w[i]\)。
递推的时候让子区间成倍增长,得递推式\(f(i, j) = max(f(i,j - 1), f(i + 2^{j - 1},j - 1)\),如下图。
代码
void init() {
for (int j = 0; j < M; j++) {
for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++) {
if (!j) f[i][j] = w[i];
else f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i + (1 << j - 1)][j - 1]);
}
}
}
查询任意区间\([l, r]\)时,先计算一个\(k\),使得\(2^k\)是小于区间长度得一个最大得\(k\),那么从\(l\)开始得\(2^k\)个数和以\(r\)为结尾得\(2^k\)个数就覆盖了整个区间\([l, r]\),如下图。
即使有重叠也没有关系,那么区间最大值就是\(max(f(l, k), f(r - 2^k + 1, k))\)
代码
int query(int l, int r) {
int len = r - l + 1;
int k = log(len) / log(2);
return max(f[l][k], f[r - (1 << k) + 1][k]);
}
例题AcWing 1273. 天才的记忆
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10, M = 18;
int f[N][M], w[N]; //f[i][j]表示从i开始长度为2^j的区间最大值是多少
int n, m;
void init() {
for (int j = 0; j < M; j++) {
for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++) {
if (!j) f[i][j] = w[i];
else f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i + (1 << j - 1)][j - 1]);
}
}
}
int query(int l, int r) {
int len = r - l + 1;
int k = log(len) / log(2);
return max(f[l][k], f[r - (1 << k) + 1][k]);
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> w[i];
init();
cin >> m;
while (m--) {
int l, r;
cin >> l >> r;
cout << query(l, r) << endl;
}
return 0;
}