题意

给出一棵n个点的树，求包含1号点的第k小的连通块权值和。（\(n<=10^5\)）

分析

k小一般考虑堆...

题解

堆中关键字为\(s(x)+min(a)\)，其中\(s(x)\)表示\(x\)状态的权值和，\(min(a)\)表示\(x\)状态相邻的不在\(x\)里的的点的最小权值。

每一次从堆中弹出最小的，然后用这个来拓展。

可以证明，这样第\(k\)次弹出来的状态\(x \cup \\{ a \\}\)就是\(k\)小的。

证明很简单，堆中的都是待拓展状态，每一次取出来\(x \cup \\{ a \\}\)的将来再也不会有状态的权值和小于这个状态。

维护相邻的点我们可以用可持久化堆搞。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int MX=8000005; //超过这个数这份代码别想活了【捂脸熊

struct node *null;

struct node {

	node *c[2];

	int x, w, s;

	void up() { s=1+c[0]->s+c[1]->s; if(c[0]->s<c[1]->s) swap(c[0], c[1]); }

}pool[MX], *iT=pool;

int cc=2;

node *newnode() {

	node *x=iT++; ++cc; if(cc>=MX) { puts("err"); exit(0); }

	x->c[0]=x->c[1]=null; x->x=-1; x->w=0; x->s=0;

	return x;

}

void cpy(node *x, node *y) {

	x->x=y->x; x->w=y->w; x->s=y->s;

	x->c[0]=y->c[0]; x->c[1]=y->c[1];

}

void init() {

	null=iT++;

	null->c[0]=null->c[1]=null;

	null->x=0; null->w=0; null->s=0;

}

node *merge(node *l, node *r) {

	if(l==null) return r;

	if(r==null) return l;

	node *x=newnode();

	if(l->w<=r->w) { cpy(x, l); x->c[1]=merge(x->c[1], r); }

	else { cpy(x, r); x->c[1]=merge(x->c[1], l); }

	x->up();

	return x;

}

node *ins(node *x, node *y) {

	if(x==null) return y;

	node *p=x;

	if(y->w<=x->w) p=y, p->c[0]=x;

	else x->c[1]=ins(x->c[1], y);

	p->up();

	return p;

}

node *ins(node *x, int id, int w, int flag=1) {

	node *y=newnode(); y->x=id; y->w=w; y->s=1;

	return flag?merge(x, y):ins(x, y);

}

node *del(node *x) { return merge(x->c[0], x->c[1]); }

struct ip {

	node *x; ll sum;

	bool operator<(const ip &a) const { return sum<a.sum; }

};

multiset<ip> q;

const int N=100005;

int ihead[N], f[N], cnt, n, K;

struct E { int next, to, w; }e[N<<1];

void add(int x, int y, int w) {

	e[++cnt]=(E){ihead[x], y, w}; ihead[x]=cnt;

	e[++cnt]=(E){ihead[y], x, w}; ihead[y]=cnt;

}

node *root[N];

int main() {

	init();

	scanf("%d%d", &n, &K);

	for(int i=2; i<=n; ++i) {

		int w;

		scanf("%d%d", &f[i], &w);

		add(i, f[i], w);

	}

	node *rt=null;

	for(int x=1; x<=n; ++x) {

		root[x]=null;

		for(int i=ihead[x]; i; i=e[i].next) if(e[i].to!=f[x])

			root[x]=ins(root[x], e[i].to, e[i].w, 0);

	}

	root[n+1]=ins(null, 1, 0, 0);

	q.insert((ip){root[n+1], 0});

	ll ans=0; int cnt=0; ip t;

	multiset<ip>::iterator it;

	while(1) {

		if(q.size()==0) break;

		it=q.begin(); q.erase(it);

		t=*it;

		ans=t.sum;

		node *now=t.x;

		if(now==null) continue;

		rt=del(now); if(rt!=null) q.insert((ip){rt, t.sum-now->w+rt->w});

		rt=merge(rt, root[now->x]);

		q.insert((ip){rt, t.sum+rt->w});

		++cnt; if(cnt==K) { ans=t.sum; break; }

		if((int)q.size()>K) { it=q.end(); q.erase(--it); }

	}

	printf("%lld\n", ans%998244353);

	return 0;

}