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Solution

非常有意思的一道题。

看到回文子串，首先想到的 manacher 算法。emm……但是写了 manacher 之后怎么做呢？

我们发现，求相交的回文子串非常麻烦，所以直接一波正难则反，用总的回文子串数减去不相交的。

接下来考虑如何求不相交的回文子串。

我们开两个数组 \(f_i\)，\(g_i\)。\(f_i\) 表示以 \(i\) 为开头的回文串有多少个，\(g_i\) 表示以 \(i\) 为结尾的回文串有多少个。

看到标签里的\(\color{blue}{前缀和}\)，我们给 \(g_i\) 做个前缀和存到 \(sum_i\) 里，那么 \(sum_i\) 就表示结尾是 \(i\) 及以前的点的回文子串有多少个， 我们发现不相交的回文子串个数就是:

\[res = \sum\limits_{i = 1}^{n}{sum_i \times f_{i + 1}} \]

用总数减去即可。

那么 \(f_i\) 和 \(g_i\) 怎么求呢？

我们发现标签里的 \(\color{blue}{差分}\) 还没有用到标签真是好用。考虑用差分。

我们已经使用 manacher 算法求出了每个点作为回文串的中心时最长的回文半径是多少，设为 \(p_i\)（\(p_i\) 是原字符串扩展后的新串的回文半径，长度就是原串的回文串的长度，如果不懂的话可以去学一下 manacher，这里不再赘述）。

我们发现，一个半径 \(p_i\) 会形成许多回文串，分别是：

\[i - p_i + 1\ \ \ \ \sim\ \ \ \ i\ \ \ \ \sim\ \ \ \ i + p_i - 1 \]

\[i - p_i + 2\ \ \ \ \sim\ \ \ \ i\ \ \ \ \sim\ \ \ \ i + p_i - 2 \]

\[i - p_i + 3\ \ \ \ \sim\ \ \ \ i\ \ \ \ \sim\ \ \ \ i + p_i - 3 \]

\[· \]

\[· \]

\[i - 1\ \ \ \ \sim\ \ \ \ i\ \ \ \ \sim\ \ \ \ i + 1 \]

也就是说，我们要对 \(f_{i - p_i + 1} \sim f_i\) 都 +1，同样的，对\(g_i \sim g_{i + p_i - 1}\) 也都 +1。

这时我们就可以用差分来解决了，即 \(f_{i - p_i + 1}++\)，\(f_{i + 1}--\)，同时对 \(g_{i}++\)，\(g_{i + p_i}--\)。

最后循环一遍统计答案就可以啦，需要注意的是，现在我们已经把原本的字符串扩展过了，所以循环的增幅为 2。

Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define ll long long

using namespace std;

const ll N = 4e6 + 10;
const ll mod = 51123987;
ll n, ans, tot, sum;
char s[N], a[N];
ll f[N], g[N], p[N];

inline void manacher(){
    s[0] = '*', s[(n << 1) + 1] = '#';
    for(ll i = 1; i <= n; ++i)
        s[(i << 1) - 1] = '#', s[i << 1] = a[i];
    n = (n << 1) + 1;
    ll mx = 0, id = 0;
    for(ll i = 1; i <= n; ++i){
        if(i < mx) p[i] = min(mx - i, p[(id << 1) - i]);
        else p[i] = 1;
        while(i - p[i] >= 1 && i + p[i] <= n && s[i - p[i]] == s[i + p[i]]) p[i]++;
        if(i + p[i] > mx) mx = i + p[i], id = i;
        tot = (tot + (p[i] >> 1)) % mod;
    }
}

signed main(){
    scanf("%lld%s", &n, a + 1);
    manacher();
    for(ll i = 1; i <= n; ++i){
        f[i - p[i] + 1]++, f[i + 1]--;
        g[i]++, g[i + p[i]]--;
    }
    for(ll i = 1; i <= n; ++i)
        f[i] += f[i - 1], g[i] += g[i - 1];
    ans = tot * (tot - 1) / 2 % mod;
    for(ll i = 2; i <= n - 2; i += 2){
        sum = (sum + g[i]) % mod;
        ans = (ans - sum * f[i + 2] % mod + mod) % mod;
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}

End