基础拓扑学讲义 1.7 粘合映射不是开映射

粘合映射不是开映射

定义

  • 粘合映射 \(p\):\(p\) 是等价关系诱导出的映射,故而必为满射

\((X, \tau)\) 是拓扑空间,\(\sim\) 是集合 \(X\) 上的一个等价关系,规定商集 \(X/\sim\) 上的子集族

\[\tilde{\tau}:=\{V\subset X/\sim|p^{-1}(V)\in \tau\} \]

则 \(\tilde{\tau}\) 是 \(X/\sim\) 上的一个拓扑,称为 \(\tau\) 在 \(\sim\) 下的商拓扑。

换个说法就是 \(X/\sim\) 的所有原像为开集的子集都是开集,这是否说明 \(p\) 是开映射?

答案是并不,为了说明它不是开映射,我们需要找到 \(p\) 把开集映射到非开集的反例。

首先简单分析一下,假设 \(p(U) = V\),\(U\) 为开集,\(V\) 不为开集。根据 \(\tilde{\tau}\) 的定义,\(p^{-1}(V)\) 不为开集。那么思路来了,只需要取 \(X\) 上闭集 \(A\) 使得 \(p(A)\subset V\) 即可。

UAV=p(U)p(A)

同胚映射 \(f\)

同胚 = 双射 + 连续 + 开/闭映射

双射 \(f\) 为开映射,则必是闭映射,因为 \(f(A^C) = (f(A)^C)\)

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