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n阶行列式定义
设
A
=
(
a
i
j
)
A =(a_{ij})
A=(aij)是一个
n
n
n阶方阵，则所谓
A
A
A的行列式或
n
n
n阶行列式。指由
A
A
A确定一个数，记为
∣
A
∣
（
或
记
为
d
e
t
A
）
|A| （或记为det A ）
∣A∣（或记为detA），这个数由下式来确定:
∣
A
∣
=
∑
(
i
1
,
.
.
.
,
i
n
)
∈
s
n
(
−
1
)
τ
(
i
1
,
.
.
.
,
i
n
)
a
1
i
1
a
2
i
2
.
.
.
a
n
i
n
|A|\ =\ \sum_{\left( i_1,...,i_n \right) \in s_n}{\left( -1 \right) ^{\tau \left( i_1,...,i_n \right)}a_{1i_1}a_{2i_2}...a_{ni_n}}
∣A∣ = (i1,...,in)∈sn∑(−1)τ(i1,...,in)a1i1a2i2...anin
具体来说：
- n n n阶行列式定义展开式中共有 n ! n! n!项。
- 右边每一项都是 n n n个数相乘， a 1 i 1 , a 2 i 2 , . . . , a n i n a_{1i_1},a_{2i_2},...,a_{ni_n} a1i1,a2i2,...,anin,这 n n n个元素分别来自 A A A的不同行不同列。
- ( i 1 , . . . , i n ) ∈ s n \left( i_1,...,i_n \right) \in s_n (i1,...,in)∈sn， s n s_n sn是 1 ， 2 ， 3 ， . . . , n 1，2，3，...,n 1，2，3，...,n的全排列的集合。
- ( − 1 ) τ ( i 1 , . . . , i n ) \left( -1 \right) ^{\tau \left( i_1,...,i_n \right)} (−1)τ(i1,...,in)是 a 1 i 1 a 2 i 2 . . . a n i n a_{1i_1}a_{2i_2}...a_{ni_n} a1i1a2i2...anin的系数，其中列指标排列 ( i 1 , . . . , i n ) \left( i_1,...,i_n \right) (i1,...,in)的奇偶性决定该项所带的符号（正或者负）。
排列
n
n
n个数
1
,
2
,
3
,
.
.
.
,
n
1,2,3,...,n
1,2,3,...,n排列成一个有序
n
n
n元数组称为一个
n
n
n元排列。
注：
- 自然排列： 1 , 2 , 3 , . . . , n 1,2,3,...,n 1,2,3,...,n
- 1 , 3 , 2 , 4 和 4 ， 2 ， 1 ， 3 1,3,2,4和4，2，1，3 1,3,2,4和4，2，1，3都是4元排列，但 3 ， 2 ， 1 ， 3 3，2，1，3 3，2，1，3不是4元排列。
逆序、逆序数定义
在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，则称这对数为一个逆序；一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数。
如果记
τ
(
p
i
)
\tau(p_i)
τ(pi)为在排列
(
p
1
,
.
.
.
,
p
n
)
\left( p_1,...,p_n \right)
(p1,...,pn)中，排在
p
i
p_i
pi左边但大于
p
i
p_i
pi的数的个数，
τ
(
p
1
,
.
.
.
,
p
n
)
=
∑
i
=
1
n
τ
(
p
i
)
\tau \left( p_1,...,p_n \right) = \sum_{i=1}^n{\tau(p_i)}
τ(p1,...,pn)=i=1∑nτ(pi)
例子一
求排列3，2，1，4和4，5，1，3，6，2的逆序数。
τ
(
3
,
2
,
1
,
4
)
=
0
+
1
+
2
+
0
=
3
\tau(3,2,1,4) = 0+1+2+0 = 3
τ(3,2,1,4)=0+1+2+0=3
则该排列逆序数为3.
τ
(
4
，
5
，
1
，
3
，
6
，
2
)
=
0
+
0
+
2
+
2
+
0
+
4
=
8
\tau(4，5，1，3，6，2) = 0+0+2+2+0+4 = 8
τ(4，5，1，3，6，2)=0+0+2+2+0+4=8
则该排列逆序数为8.
奇排列、偶排列
逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列．
i 1 , . . . , i n i_1,...,i_n i1,...,in为奇排列时, a 1 i 1 a 2 i 2 . . . a n i n a_{1i_1}a_{2i_2}...a_{ni_n} a1i1a2i2...anin带负号。
i 1 , . . . , i n i_1,...,i_n i1,...,in为偶排列时, a 1 i 1 a 2 i 2 . . . a n i n a_{1i_1}a_{2i_2}...a_{ni_n} a1i1a2i2...anin带正号。
特殊行列式
行列式性质
余子式
行列式计算
（慢慢更新…）